Как найти общий вид первообразной для функции f(x)=6/5√4x+2+1/cos^2

Тема: Общий вид первообразной

Инструкция: Для того чтобы найти общий вид первообразной функции f(x), нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x). В данной задаче функция f(x) представлена в виде суммы двух слагаемых: 6/5√4x+2 и 1/cos^2 5x.

Шаг 1: Начнем с первого слагаемого 6/5√4x+2. Чтобы найти первообразную для данной функции, сначала заметим, что √4x+2 можно представить в виде (2x+2)^1/2, а затем домножим на 6/5, чтобы упростить выражение. Теперь у нас есть первообразная для первого слагаемого: (6/5) * (2x+2)^(1/2).

Шаг 2: Перейдем ко второму слагаемому 1/cos^2 5x. Вспомним, что производная функции tg(x) равна sec^2(x). Таким образом, заметим, что cos^2 5x можно представить в виде 1/sec^2 5x, что равно 1/(tg^2 5x). Теперь у нас есть первообразная для второго слагаемого: -1/(5tg 5x).

Шаг 3: Сложим две первообразные, полученные на шагах 1 и 2, чтобы найти общий вид первообразной для функции f(x). Итак, общий вид первообразной будет выглядеть таким образом: (6/5) * (2x+2)^(1/2) - 1/(5tg 5x).

Пример использования: Найдем общий вид первообразной для функции f(x) = 6/5√4x+2 + 1/cos^2 5x.

Совет: При решении таких задач полезно иметь хорошие знания о производных и основных интегральных формулах. Кроме того, важно уметь упрощать и преобразовывать выражения методами алгебры и тригонометрии.

Задание для закрепления: Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = 3/x + 2cos^2 2x.