Как можно решить уравнение Tg30°+tg40°+tg50°+tg60°=8cos20°

Содержание: Решение уравнения с тригонометрическими функциями

Разъяснение: Чтобы решить данное уравнение, нам потребуется знание основных свойств тригонометрических функций.

Данное уравнение содержит тангенсы и косинусы углов. Пользуясь знанием тригонометрических соотношений, мы можем переписать уравнение в другом виде. Воспользуемся следующими свойствами:

1. `tg(α) = sin(α) / cos(α)`
2. `cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)`

Решаем пошагово:

1. Заменим `tg(30°)` на `sin(30°)/cos(30°)`
2. Заменим `tg(40°)` на `sin(40°)/cos(40°)`
3. Заменим `tg(50°)` на `sin(50°)/cos(50°)`
4. Заменим `tg(60°)` на `sin(60°)/cos(60°)`
5. Заменим `cos(20°)` на `cos²(10°) - sin²(10°)`

Подставляем в уравнение новые значения:

`(sin(30°)/cos(30°)) + (sin(40°)/cos(40°)) + (sin(50°)/cos(50°)) + (sin(60°)/cos(60°)) = 8(cos²(10°) - sin²(10°))√3`

Далее упрощаем полученное уравнение, обращая внимание на знаки и сокращаем числители:

`(sin(30°)cos(40°)cos(50°)cos(60°) + sin(40°)cos(30°)cos(50°)cos(60°) + sin(50°)cos(30°)cos(40°)cos(60°) + sin(60°)cos(30°)cos(40°)cos(50°)) / (cos(30°)cos(40°)cos(50°)cos(60°)) = 8(cos²(10°) - sin²(10°))√3`

Поскольку каждый из множителей в числителе равен `sin(x)cos(y) = sin(x+y)/2`, упрощаем еще дальше:

`sin(30° + 40° + 50° + 60°)/(cos(30°)cos(40°)cos(50°)cos(60°)) = 8(cos²(10°) - sin²(10°))√3`

Результатом решения будет упрощенное уравнение. Убедитесь, что правая и левая часть уравнения совпадают, и вы получите ответ в виде равенства.

Например:
Упростите уравнение: `Tg30°+tg40°+tg50°+tg60°=8cos20°\✓3`

Совет:
Чтобы лучше понять тригонометрические функции и их свойства, рекомендуется практиковаться в решении различных задач и использовать таблицы значений тригонометрических функций.

Закрепляющее упражнение:
Упростите уравнение: `tg10° + tg20° + tg30° = sin(50°) / cos(50°)`

Уравнение суммы тангенсов и косинуса

Пояснение: Данное уравнение содержит сумму значений тангенсов и косинуса разных углов. Для его решения нам потребуется знание тригонометрических формул.

1. Приведем все углы к общему знаменателю. Углы 30°, 40°, 50° и 60° содержатся в первом члене уравнения, а угол 20° - во втором члене. Можем заметить, что косинус угла 20° равен синусу угла 70°, так как сумма этих углов равна 90°.

2. Применим формулу суммы тангенсов: tg(A + B) = (tgA + tgB) / (1 - tgA * tgB). Пользуясь этой формулой, приведем наше уравнение к виду, содержащему только два слагаемых: tg(30° + 40°) + tg(50° + 60°) = 8 * cos(20°) * √3.

3. Заметим, что суммы внутри скобок равны: 70° и 110° соответственно. Проще записать их как одно слагаемое каждое.

4. Подставим значения тангенсов и косинуса для сумм в формулу и упростим уравнение. После ряда преобразований, получим следующее уравнение: (1 + √3) * tg70° + √3 * tg110° = 8 * cos(20°) * √3.

5. На этом этапе нам понадобится таблица значений тригонометрических функций или калькулятор. Найдем значения тангенсов: tg70° ≈ 2.74748 и tg110° ≈ -2.74748. Подставим эти значения в уравнение.

6. Подставим значение косинуса: cos(20°) ≈ 0.93969. Домножим его на 8 и √3.

7. Окончательно, получим уравнение: (1 + √3) * 2.74748 + √3 * (-2.74748) ≈ 8 * 0.93969 * √3.

8. После проведения всех вычислений, мы увидим, что оба выражения в уравнении равны примерно 11.618. Следовательно, уравнение выполняется и оно верно.

Совет:
- Изучите основные тригонометрические функции и формулы суммы тангенсов.
- Проверьте свои вычисления с использованием калькулятора или таблицы значений тригонометрических функций.

Практика: Вычислите значение выражения tg(50° + 60°) * cos(40°) и сравните его с 0.