Объяснение: Для решения данного квадратного неравенства, мы должны найти значения переменной x, при которых неравенство будет выполнено. Начнем с факта, что квадратное неравенство может иметь разные решения в зависимости от знака дискриминанта.
Для начала, посмотрим на левую часть неравенства: 8x^2 + 24x. Мы можем решить это неравенство путем нахождения корней квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства.
1. Решение квадратного уравнения: 8x^2 + 24x = 0.
Нам нужно найти такие значения x, при которых левая часть равна нулю. Для этого мы можем факторизовать уравнение следующим образом:
8x(x + 3) = 0.
Здесь мы имеем два множителя, которые приводят к равенству нулю. Следовательно, возможны два варианта:
- 8x = 0, что дает нам x = 0.
- x + 3 = 0, что дает нам x = -3.
2. Теперь, зная корни квадратного уравнения, мы можем построить числовую прямую и определить интервалы, в которых выполняется неравенство.
a) Интервал x < -3.
Выберем любое значение x меньше -3 и подставим его в исходное неравенство, например, x = -4:
8(-4)^2 + 24(-4) = 128 - 96 = 32 > 0.
Интервалу x < -3 весьма благоприятно для выполнения неравенства.
b) Интервал -3 ≤ x ≤ 0.
Выберем значение x из этого интервала, например, x = -2:
8(-2)^2 + 24(-2) = 32 - 48 = -16 < 0.
Значение x = -2 не удовлетворяет неравенству.
c) Интервал x ≥ 0.
Выберем значение x из этого интервала, например, x = 1:
8(1)^2 + 24(1) = 8 + 24 = 32 > 0.
Все значения x ≥ 0 удовлетворяют неравенству.
Пример использования:
Дано неравенство: 8x^2 + 24x ≥ 0.
Решение:
1. Найдем корни квадратного уравнения: 8x^2 + 24x = 0.
8x(x + 3) = 0.
Корни: x = 0, x = -3.
2. Построим числовую прямую и определим интервалы.
a) x < -3: 8(-4)^2 + 24(-4) = 32 > 0.
b) -3 ≤ x ≤ 0: -16 < 0.
c) x ≥ 0: 32 > 0.
Таким образом, решением неравенства является x < -3 и x ≥ 0.
Совет: Для решения квадратных неравенств, всегда начинайте с поиска корней квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства. Затем используйте числовую прямую и подставляйте значения из разных интервалов, чтобы определить, когда неравенство выполняется или не выполняется.
Упражнение: Решите неравенство 3x^2 - 15x < 0. Определите интервалы, в которых неравенство выполняется.
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Объяснение: Для решения данного квадратного неравенства, мы должны найти значения переменной x, при которых неравенство будет выполнено. Начнем с факта, что квадратное неравенство может иметь разные решения в зависимости от знака дискриминанта.
Для начала, посмотрим на левую часть неравенства: 8x^2 + 24x. Мы можем решить это неравенство путем нахождения корней квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства.
1. Решение квадратного уравнения: 8x^2 + 24x = 0.
Нам нужно найти такие значения x, при которых левая часть равна нулю. Для этого мы можем факторизовать уравнение следующим образом:
8x(x + 3) = 0.
Здесь мы имеем два множителя, которые приводят к равенству нулю. Следовательно, возможны два варианта:
- 8x = 0, что дает нам x = 0.
- x + 3 = 0, что дает нам x = -3.
2. Теперь, зная корни квадратного уравнения, мы можем построить числовую прямую и определить интервалы, в которых выполняется неравенство.
a) Интервал x < -3.
Выберем любое значение x меньше -3 и подставим его в исходное неравенство, например, x = -4:
8(-4)^2 + 24(-4) = 128 - 96 = 32 > 0.
Интервалу x < -3 весьма благоприятно для выполнения неравенства.
b) Интервал -3 ≤ x ≤ 0.
Выберем значение x из этого интервала, например, x = -2:
8(-2)^2 + 24(-2) = 32 - 48 = -16 < 0.
Значение x = -2 не удовлетворяет неравенству.
c) Интервал x ≥ 0.
Выберем значение x из этого интервала, например, x = 1:
8(1)^2 + 24(1) = 8 + 24 = 32 > 0.
Все значения x ≥ 0 удовлетворяют неравенству.
Пример использования:
Дано неравенство: 8x^2 + 24x ≥ 0.
Решение:
1. Найдем корни квадратного уравнения: 8x^2 + 24x = 0.
8x(x + 3) = 0.
Корни: x = 0, x = -3.
2. Построим числовую прямую и определим интервалы.
a) x < -3: 8(-4)^2 + 24(-4) = 32 > 0.
b) -3 ≤ x ≤ 0: -16 < 0.
c) x ≥ 0: 32 > 0.
Таким образом, решением неравенства является x < -3 и x ≥ 0.
Совет: Для решения квадратных неравенств, всегда начинайте с поиска корней квадратного уравнения, соответствующего левой части неравенства. Затем используйте числовую прямую и подставляйте значения из разных интервалов, чтобы определить, когда неравенство выполняется или не выполняется.
Упражнение: Решите неравенство 3x^2 - 15x < 0. Определите интервалы, в которых неравенство выполняется.