Как можно представить многочлены в виде куба бинома? а) Какой будет кубичное представление для x³ - 3x² + 3x

Тема занятия: Куб бинома

Описание: Чтобы представить многочлен в виде куба бинома, мы должны найти двучлен, который, возведенный в куб, даст нам исходный многочлен. Для этого нужно найти корни двучлена и возвести каждый корень в куб. Это позволит нам построить трехчлен, который при возведении в куб даст нужный многочлен.

a) Для многочлена x³ - 3x² + 3x - 1 мы должны найти корни двучлена. Подставляя различные значения x, мы находим, что x = 1 является корнем. Следовательно, x - 1 является одним из множителей. Делим исходный многочлен на x - 1, получаем: (x³ - 3x² + 3x - 1) / (x - 1) = x² - 2x + 1. Теперь возводим это в куб: (x² - 2x + 1)³ = x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x + 1.

б) Для многочлена 27z³ + 54z²r² + 36zr⁴ мы должны найти корни двучлена. В данном случае наблюдаем, что каждый член имеет значение z. Мы можем использовать это знание и найти, что z = 3r является корнем. Подставляем это значение и делим исходный многочлен на z - 3r: (27z³ + 54z²r² + 36zr⁴) / (z - 3r) = 27z² + 81zr² + 243r⁴. Теперь, возводим это в куб: (27z² + 81zr² + 243r⁴)³ = 19683z⁶ + 8748z³r⁴ + 6561z²r⁶.

Дополнительный материал:
а) Кубичное представление для x³ - 3x² + 3x - 1 будет x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x + 1.
б) Кубичное представление для 27z³ + 54z²r² + 36zr⁴ будет 19683z⁶ + 8748z³r⁴ + 6561z²r⁶.

Совет: Чтобы лучше понять тему и научиться представлять многочлены в виде кубов биномов, изучите теорию касательно поиска корней многочленов и методов факторизации.

Проверочное упражнение: Представьте многочлены в виде кубов биномов:
а) 8x³ - 27
б) 64y³ - 48y² + 12y - 1