Как можно доказать равенство 1/sina-cosa = sina+cosa/sin^4a-cos^4a?

Равенство: доказательство 1/sin(a)-cos(a) = (sin(a)+cos(a))/(sin^4(a)-cos^4(a))

Для начала, давайте займемся упрощением правой стороны равенства. Посмотрим на выражение (sin(a)+cos(a))/(sin^4(a)-cos^4(a)).

Мы можем применить идентичность разности квадратов к знаменателю, чтобы привести его к более удобному виду. Идентичность разности квадратов гласит: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).

Применяя ее, мы получаем (sin^2(a)-cos^2(a))(sin^2(a)+cos^2(a)).

Заметим, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1, это основное свойство тригонометрии.

Теперь заново записываем наше выражение: (sin^2(a)-cos^2(a))(1).

Далее, можно применить идентичность разности квадратов снова к (sin^2(a)-cos^2(a)).

Получаем: [(sin(a)+cos(a))(sin(a)-cos(a))](1).

Теперь мы можем упростить выражение к [sin(a)+cos(a)]/(sin(a)-cos(a)).

Обратите внимание, что это уже похоже на левую часть нашего равенства.

Чтобы доказать равенство,нам нужно показать, что левая и правая части равны.

Поскольку (sin(a)+cos(a))/(sin(a)-cos(a)) и 1/sin(a)-cos(a) уже равны, равенство доказано.

Пример использования: Решите упражнение по доказательству равенства 1/sin(a)-cos(a) = (sin(a)+cos(a))/(sin^4(a)-cos^4(a)).

Совет: Чтобы легче запомнить идентичности разности квадратов, регулярно изучайте основные тригонометрические и алгебраические идентичности, а также упражняйтесь в их применении.

Упражнение: Докажите равенство (sin^2(a)-cos^2(a))^2 = (sin^2(a)+cos^2(a))^2 - 4sin^2(a)cos^2(a).