Исследуйте функцию y=x-1/3(2+7x)^6/7 на свойство монотонности и наличие экстремумов. Найдите наибольшее и наименьшее

Исследование функции на монотонность и экстремумы:

Исследование функции на монотонность и экстремумы включает в себя несколько шагов. Давайте рассмотрим каждый из них подробно.

Шаг 1: Найти производную функции

Для исследования монотонности и нахождения экстремумов нам понадобится найти производную функции. Для данной функции y=x-1/3(2+7x)^6/7, используем правило дифференцирования сложной функции:

y" = (1 - 1/3 * (2+7x)^(-1/7) * 7/7) = 1 - (2+7x)^(-1/7)

Шаг 2: Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Решим уравнение y" = 0:

1 - (2+7x)^(-1/7) = 0

(2+7x)^(-1/7) = 1

2+7x = 1

7x = -1

x = -1/7

Шаг 3: Определение монотонности и экстремумов

Теперь у нас есть точка x = -1/7, которую необходимо исследовать на наличие экстремумов и монотонность функции.

Чтобы определить монотонность, возьмем производную второго порядка:

y"" = -7/7 * (2+7x)^(-8/7)

Подставим x = -1/7:

y"" = -7/7 * (2 + 7 * (-1/7))^(-8/7)

y"" = -7/7 * (1)^(-8/7)

y"" = -7/7

Так как значение y"" < 0, функция y=x-1/3(2+7x)^6/7 является выпуклой вниз на всей области определения.

Мы можем сделать выводы:

1) Функция является монотонно убывающей во всей области определения (поскольку производная y" = 1 - (2+7x)^(-1/7) всегда положительна).
2) Точка x = -1/7 является локальным минимумом (поскольку y"" < 0).

Пример:

Исследуйте функцию y=x-1/3(2+7x)^6/7 на монотонность и наличие экстремумов.

Совет:

Прежде чем решать задачу, рекомендуется повторить тему производных и изучить правила дифференцирования сложной функции.

Задание для закрепления:

Исследуйте функцию y = 2x^3 - 9x^2 + 12x на монотонность и наличие экстремумов. Найдите точки экстремума и определите, являются ли они максимумами или минимумами.