Используя замену переменной x^2+6/x - 5x/x^2+6=4, найдите решение уравнения

Тема урока: Решение уравнений с заменой переменной

Объяснение: Чтобы решить данное уравнение, мы воспользуемся заменой переменной. Заменим выражение x^2+6 на новую переменную y. Тогда уравнение x^2+6/x - 5x/x^2+6=4 примет вид:

y/x - 5x/y = 4

Умножим обе части уравнения на xy, чтобы избавиться от знаменателя:

y^2 - 5x^2 = 4xy

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменных x и y. Оно выглядит следующим образом:

y^2 - 4xy - 5x^2 = 0

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант D равен b^2 - 4ac, где a = 1, b = -4x и c = -5x^2. Подставим значения и вычислим:

D = (-4x)^2 - 4 * 1 * (-5x^2) = 16x^2 + 20x^2 = 36x^2

Так как дискриминант D равен положительному числу, у нас есть два корня уравнения. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения:

y1 = (-b + √D) / (2a)
y2 = (-b - √D) / (2a)

y1 = (-(-4x) + √(36x^2)) / (2 * 1) = (4x + 6x) / 2 = 5x
y2 = (-(-4x) - √(36x^2)) / (2 * 1) = (4x - 6x) / 2 = -x

Таким образом, мы получили два значения для y: 5x и -x. Теперь подставим эти значения обратно в исходное уравнение:

y/x - 5x/y = 4

Для первого значения y = 5x:
(5x)/x - 5x/(5x) = 4
5 - 1 = 4
4 = 4

Для второго значения y = -x:
(-x)/x - 5x/(-x) = 4
-1 + 5 = 4
4 = 4

Окончательно, решением данного уравнения являются значения x, при которых выполняется условие x^2+6 = 5x или x^2 - 5x + 6 = 0. Мы можем решить эту квадратное уравнение и найти конкретные значения x.

Совет: Для успешного решения уравнений с заменой переменной рекомендуется тщательно выбирать новую переменную, чтобы упростить уравнение и сделать решение более удобным.

Ещё задача: Найдите решение уравнения 2(x+3)/x = 5