Ищем коэффициент при x^2 в разложении многочлена (x^2−x+1)^999

Предмет вопроса: Разложение многочлена с использованием бинома Ньютона

Разъяснение: Для нахождения коэффициента при x^2 в разложении многочлена (x^2−x+1)^999 можно использовать бином Ньютона. Сначала выразим многочлен в виде (a+b)^n, где a=x^2, b=-x и n=999.

Применим формулу бинома Ньютона:
(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n)*a^0*b^n,

где C(n,k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

Применяя формулу к нашему многочлену, получим:
(x^2−x+1)^999 = C(999,0)*(x^2)^999*(-x)^0 + C(999,1)*(x^2)^998*(-x)^1 + C(999,2)*(x^2)^997*(-x)^2 + ... + C(999,999)*(x^2)^0*(-x)^999.

Чтобы найти коэффициент при x^2, обратим внимание на слагаемое при a^(n-2)*b^2, т.е. при (x^2)^(999-2)*(-x)^2. Это соответствует коэффициенту C(999,2) в разложении.

Биномиальный коэффициент C(999,2) можно вычислить по формуле:
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!),

где n! обозначает факториал числа n.

Применяя формулу для C(999,2), получаем:
C(999,2) = 999! / (2! * (999-2)!) = 999! / (2! * 997!).

Таким образом, коэффициент при x^2 в разложении многочлена (x^2−x+1)^999 равен C(999,2).

Доп. материал: Найдите коэффициент при x^2 в разложении многочлена (x^2−x+1)^999.

Совет: Для упрощения вычислений факториалов используйте технику факториалов сокращения

Задача на проверку: Найдите коэффициенты при x^3 и x^4 в разложении многочлена (x^3−2x^2+3x−4)^5.