How can the equation 2log^2 (base 0.3) x - 7 log (base 0.3) x - 4 = 0 be rewritten?

Тема занятия: Логарифмические уравнения

Разъяснение:

Данное уравнение включает в себя логарифмические функции. Чтобы переписать его в более простой форме, мы должны использовать некоторые свойства логарифмов.

Допустим, что у нас есть уравнение 2log^2 (base 0.3) x - 7 log (base 0.3) x - 4 = 0. Чтобы переписать его, можно заметить, что оба члена содержат логарифм с одинаковым основанием (0,3).

Давайте введем новую переменную, скажем, y, которая будет равна log (base 0.3) x. Тогда наше уравнение примет вид:

2y^2 - 7y - 4 = 0.

Мы свели наше исходное уравнение к квадратному уравнению относительно переменной y. Теперь мы можем решить его с использованием любого метода решения квадратных уравнений.

В этом случае, квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, разложив его на множители:

(2y + 1)(y - 4) = 0.

Теперь мы можем найти значения y, при которых уравнение равно нулю:

2y + 1 = 0, y - 4 = 0.

Решая эти уравнения, получаем два варианта:

y = -1/2, y = 4.

Теперь, зная значения y, мы можем найти значения x с использованием начального определения y = log (base 0.3) x:

Для y = -1/2: x = 0.3^(-1/2).

Для y = 4: x = 0.3^4.

Итак, итоговые ответы: x = 0.3^(-1/2), x = 0.3^4.

Демонстрация:

Перепишите уравнение 2log^2 (base 0.3) x - 7 log (base 0.3) x - 4 = 0 в более простой форме.

Совет:

Переписывая логарифмические уравнения, полезно использовать свойства логарифмов для упрощения. Вводя новые переменные, вы можете свести уравнение к более простым формам, которые можно решить с помощью известных методов.

Задание:

Решите логарифмическое уравнение log (base 2) x + log (base 2) (x+1) = 3.