First term of an infinitely decreasing geometric progression is related to the sum of the second and third terms

Геометрическая прогрессия:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Решение:
Для решения данной задачи мы имеем два условия: первый член прогрессии связан со суммой второго и третьего членов пропорцией 9:10, а сумма всех членов прогрессии равна S.

Пусть первый член прогрессии будет равен а, а знаменатель прогрессии будет q.

Второй член прогрессии равен а * q, а третий член прогрессии равен а * q^2.

Согласно условию задачи, мы можем записать уравнение:
a = (a * q + a * q^2) * (9/10)

Упростим его:
10 * a = 9 * a * q + 9 * a * q^2

Теперь найдем сумму всех членов прогрессии:
S = a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + ...

Суммируя эту геометрическую прогрессию, мы получаем:
S = a(1 + q + q^2 + q^3 + ...)

Используя формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем:
S = a/(1-q)

Таким образом, наше уравнение гласит:
a/(1-q) = S

Теперь мы можем решить это уравнение относительно а:
a = S * (1-q)

Из уравнения a = (a * q + a * q^2) * (9/10) мы получаем:
9 * a * q^2 + 9 * a * q - 10 * a = 0

Факторизуем его, получаем:
a * (9 * q^2 + 9 * q - 10) = 0

Или:
(9 * q^2 + 9 * q - 10) = 0

Для нахождения первого члена прогрессии нам необходимо решить квадратное уравнение:
a = 0 либо 9 * q^2 + 9 * q - 10 = 0

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант D = b^2 - 4ac = (9^2) - 4 * 9 * (-10) = 81 + 360 = 441

Теперь найдем q:
q = (-b ± √D) / (2a) = (-9 ± √441) / (2 * 9)

Значение под корнем положительное, поэтому:
q = (-9 + 21) / 18 = 12/18 = 2/3

Теперь найдем a:
a = S * (1-q) = S * (1 - 2/3) = S * 1/3

Ответ: Первый член прогрессии равен одной трети суммы всех членов прогрессии.