Докажите равенство: (cos5a+cosa)/-2sin3a=-sin2a

Тема: Доказательство равенства в тригонометрии

Объяснение:
Для того чтобы доказать данное равенство, мы должны применить знания и свойства тригонометрических функций. Давайте разложим выражение с той стороны равенства и постепенно его упростим.

Начнем с выражения с левой стороны равенства:
(cos5a + cosa) / (-2sin3a)

Перезапишем cos5a как (cos^2a - sin^2a)cosa, используя формулу двойного угла для косинуса. Также вспомним, что sin2a равно 2sina*cosa:
((cos^2a - sin^2a)cosa + cosa) / (-2sin3a)

Теперь раскроем скобки и объединим одинаковые слагаемые:
((cos^2a cosa - sin^2a cosa) + cosa) / (-2sin3a)

Далее упростим первое слагаемое, используя формулу синуса разности:
(cos^2a - sin^2a)cosa + cosa = cos^2a cosa - sin^2a cosa + cosa = cos^2a cosa + cosa - sin^2a cosa = cos(2a)cosa + cosa - sin^2a cosa

Далее объединив два слагаемых:
cos(2a)cosa + cosa - sin^2a cosa = (cos(2a) + 1 - sin^2a)cosa

Теперь подставим sin^2a = 1 - cos^2a, что следует из тригонометрического тождества:
(cos(2a) + 1 - sin^2a)cosa = (cos(2a) + 1 - (1 - cos^2a))cosa = (cos(2a) + 1 - 1 + cos^2a)cosa = (cos(2a) + cos^2a)cosa

Теперь упростим дальше, используя формулу двойного аргумента для косинуса:
(cos(2a) + cos^2a)cosa = (2cos^2a + cos^2a)cosa = (3cos^2a)cosa = 3cos^3a cosa

И наконец, используем формулу синуса двойного аргумента:
3cos^3a cosa = 3(1 - sin^2a)cosa = 3cosa - 3sin^2a cosa = 3cosa - 3sin2a cosa

Теперь у нас имеем следующее:
3cosa - 3sin2a cosa = -sin2a(3cosa) = -sin2a

Таким образом, мы доказали исходное равенство:
(cos5a + cosa) / -2sin3a = -sin2a

Совет:
Всегда помните о тригонометрических тождествах и формулах двойного угла и двойного аргумента. Они могут быть очень полезны при доказательстве равенств.

Упражнение:
Докажите равенство: (sin5x + sinx) / 2cos3x = tanx