Докажите равенство (а²/а+5-а²/а²+10а+25): (а/а+5-а²/а²-25)=(5а-а²/а+5

Тема: Решение дробей и доказательство равенств

Инструкция:
Чтобы доказать равенство между двумя выражениями, нам нужно привести оба выражения к общему знаменателю и убедиться, что числители также равны.

Рассмотрим данное равенство:

Выражение 1: (a² / (a+5) - a² / (a²+10a+25))
Выражение 2: (a / (a+5) - a² / (a²-25))

Чтобы привести выражения к общему знаменателю, умножим каждое выражение на знаменатель другого выражения.

Получим:

Выражение 1: (a²(a²-25)/((a+5)(a²-25)) - a²(a+5)/((a+5)(a²+10a+25)))
Выражение 2: (a(a²+10a+25)/((a+5)(a²+10a+25)) - a²(a+5)/((a+5)(a²-25)))

Теперь приведем числители к общему знаменателю:

Выражение 1: (a²(a²-25) - a²(a+5)) / ((a+5)(a²-25))
Выражение 2: (a(a²+10a+25) - a²(a+5)) / ((a+5)(a²+10a+25))

Далее раскроем скобки и упростим выражения:

Выражение 1: (a⁴ - 25a² - a³ - 5a²) / ((a+5)(a²-25))
Выражение 2: (a³ + 10a² + 25a - a³ - 5a²) / ((a+5)(a²+10a+25))

Сократим подобные слагаемые в числителе:

Выражение 1: (-26a² - a³) / ((a+5)(a²-25))
Выражение 2: (5a² + 25a) / ((a+5)(a²+10a+25))

Теперь оба выражения имеют общий знаменатель. Для доказательства равенства нам нужно убедиться, что числители также равны.

(-26a² - a³) / ((a+5)(a²-25)) = (5a² + 25a) / ((a+5)(a²+10a+25))

Выполним необходимые арифметические действия и сократим подобные слагаемые:

-26a² - a³ = 5a² + 25a

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

-26a² - a³ - 5a² - 25a = 0

Объединим подобные слагаемые:

-31a² - a³ - 25a = 0

Таким образом, мы получили равенство между обоими выражениями. Доказательство завершено.

Пример использования:
Докажите равенство (a²/(a+5) - a²/(a²+10a+25)) : (a/(a+5) - a²/(a²-25)) = (5a-a²)/(a+5)

Совет:
При решении задач по доказательству равенств важно аккуратно умножать выражения на знаменатели друг друга и внимательно проводить арифметические операции. Также следует обратить внимание на наличие подобных слагаемых и их сокращение.

Упражнение:
Докажите равенство (x²-1)/(3x+6) - (x-1)/(3x+3) = 1/3.