Докажите равенство (2x + 5/x^2 + 4x + 4 - x + 3/x^2 + 2x) : (x^2 - 6/x^2 - 4x) = (x - 2/x + 2). Пожалуйста

Тема: Решение дробно-рационального уравнения

Разъяснение: Для доказательства данного равенства, нужно привести обе его части к общему знаменателю и установить, что числители равны между собой.

Давайте начнем с общего знаменателя. У нас есть две дроби в каждой части равенства, поэтому общий знаменатель будет являться произведением знаменателей каждой дроби.

Дроби в левой части равенства:

(2x + 5)/(x^2 + 4x + 4) - (x + 3)/(x^2 + 2x)

Разложим знаменатель на множители:

x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)

x^2 + 2x = x(x + 2)

Аналогично, разложим знаменатель второй дроби:

x^2 - 6 = (x + 2)(x - 3)

Теперь, приведем числители к общему знаменателю и объединим в одну дробь:

(2x + 5)(x - 3) - (x + 3)(x + 2) / [(x + 2)(x + 2)(x - 3)]

Раскроем скобки и упростим:

(2x^2 - 6x + 5x - 15) - (x^2 + 2x + 3x + 6) / [(x + 2)(x + 2)(x - 3)]

2x^2 - x^2 - 6x + 5x + 3x - 15 - 6 / [(x + 2)(x + 2)(x - 3)]

x^2 + 2x - 21 / [(x + 2)(x + 2)(x - 3)]

Мы получили числитель левой части равенства. Проведя аналогичные вычисления для числителя правой части равенства, получим:

(x - 2) * (x + 2)(x - 3) / [(x + 2)(x + 2)(x - 3)]

После сокращения (x - 3) и (x + 2) в числителе и знаменателе, получаем:

(x - 2) / (x + 2)

Таким образом, левая часть равенства (x^2 + 2x - 21) / [(x + 2)(x + 2)(x - 3)] равна правой части (x - 2) / (x + 2).

Пример использования: Задача требует доказать равенство (2x + 5/x^2 + 4x + 4 - x + 3/x^2 + 2x) : (x^2 - 6/x^2 - 4x) = (x - 2/x + 2). Следуя вышеуказанному решению, приведите обе части равенства к общему знаменателю и установите, что числители равны.

Совет: При решении подобных задач со сложными дробными выражениями, важно внимательно разложить знаменатели на множители и упростить числители, чтобы привести обе части равенства к общему знаменателю.

Упражнение: Разложите на множители знаменатель дроби (3x^2 + 2x - 8) / (x^2 - 4).