Какие стороны прямоугольника нужно выбрать, чтобы его периметр был равен 8 см и его площадь была максимальной?

Содержание: Оптимизация прямоугольника

Разъяснение: Для решения этой задачи, мы можем использовать метод оптимизации с помощью производной. Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника с заданным периметром, нам нужно определить значения его сторон.

Пусть стороны прямоугольника будут обозначены переменными x и y (x - длина, y - ширина). Тогда периметр прямоугольника равняется 2x + 2y, и его площадь равна xy.

По условию задачи, периметр равен 8 см, поэтому у нас есть уравнение: 2x + 2y = 8.

Мы можем выразить одну переменную через другую и подставить это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию, описывающую площадь прямоугольника только в терминах одной переменной.

Решим уравнение для y, получим: y = 4 - x

Затем, подставим это выражение для y в формулу площади: S = x(4 - x) = 4x - x^2

Для определения максимальной площади, возьмем производную от функции площади и приравняем ее к нулю, чтобы найти экстремум.

S" = 4 - 2x

4 - 2x = 0
2x = 4
x = 2

Подставим это значение обратно в уравнение для y: y = 4 - 2 = 2

Таким образом, чтобы максимизировать площадь прямоугольника при фиксированном периметре 8 см, нужно выбрать стороны длиной 2 см и шириной 2 см.

Например: Периметр прямоугольника равен 8 см. Как выбрать стороны прямоугольника, чтобы его площадь была максимальной?

Совет: При решении оптимизационных задач, всегда следует начинать с формулировки уравнений, выражающих заданные условия и необходимые величины через переменные. После этого можно использовать производную, чтобы найти экстремумы или оптимальное решение.

Задача для проверки: У прямоугольника периметр равен 12 см. Какие стороны нужно выбрать, чтобы его площадь была максимальной? Найдите значение площади в этом случае.