Докажите, что значение выражения 49^n-25^n делится на 24 при любом натуральном n. Докажите, что значение выражения

Содержание вопроса: Делимость выражений

Инструкция:

Для того чтобы доказать, что значение данных выражений делится на заданное число при любом натуральном n, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Для первого выражения: 49^n - 25^n делится на 24 при любом натуральном n.

Базовый шаг: Проверим, что выражение делится на 24 при n=1.

Заменим n на 1 в исходном выражении: 49^1 - 25^1 = 49 - 25 = 24. Мы видим, что значение выражения действительно делится на 24.

Шаг индукции: Предположим, что при некотором k значение выражения делится на 24.

Докажем для (k+1): 49^(k+1) - 25^(k+1) делится на 24.

Разложим исходное выражение с учетом предположения индукции: 49^(k+1) - 25^(k+1) = 49^k * 49 - 25^k * 25 = (24+1)^k * 49 - (24+1)^k * 25.

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель (24+1)^k, поэтому они делятся на (24+1)^k.

Таким образом, значение выражения 49^(k+1) - 25^(k+1) также делится на 24.

2. Для второго выражения: 6^(2n) - 2^(2n) делится на 32 при любом натуральном n.

Базовый шаг: Проверим, что выражение делится на 32 при n=1.

Заменим n на 1 в исходном выражении: 6^(2*1) - 2^(2*1) = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32. Мы видим, что значение выражения действительно делится на 32.

Шаг индукции: Предположим, что при некотором k значение выражения делится на 32.

Докажем для (k+1): 6^(2(k+1)) - 2^(2(k+1)) делится на 32.

Разложим исходное выражение с учетом предположения индукции: 6^(2(k+1)) - 2^(2(k+1)) = 6^(2k+2) - 2^(2k+2) = 6^(2k) * 6^2 - 2^(2k) * 2^2.

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель 32 = 2^5, поэтому они делятся на 32.

Таким образом, значение выражения 6^(2(k+1)) - 2^(2(k+1)) также делится на 32.

3. Для третьего выражения: 13^n + 3^n + 2 кратно 10 при любом натуральном n.

Базовый шаг: Проверим, что выражение кратно 10 при n=1.

Заменим n на 1 в исходном выражении: 13^1 + 3^1 + 2 = 13 + 3 + 2 = 18. Мы видим, что значение выражения действительно кратно 10.

Шаг индукции: Предположим, что при некотором k значение выражения кратно 10.

Докажем для (k+1): 13^(k+1) + 3^(k+1) + 2 кратно 10.

Разложим исходное выражение с учетом предположения индукции: 13^(k+1) + 3^(k+1) + 2 = 13^k * 13 + 3^k * 3 + 2.

Мы видим, что все слагаемые делятся на 10.

Таким образом, значение выражения 13^(k+1) + 3^(k+1) + 2 также кратно 10.

Совет: Для доказательства деления выражений на заданное число при любом натуральном n, можно использовать метод математической индукции и логические рассуждения. Важно разобраться в базовом шаге и шаге индукции для каждого доказательства.

Проверочное упражнение: Докажите, что значение выражения 16^n - 8^n + 4^n делится на 12 при любом натуральном n.