Докажите, что результат выражения (3/2a-3 - 8a^3-18a)/(4a^2+9) умноженного на (2a/4a^2-12a+9 - 3/4a^2-9) равен

Тема: Доказательство равенства двух выражений

Инструкция: Чтобы доказать равенство двух выражений, мы должны показать, что значение обоих выражений одинаково при любом выборе переменной. В данной задаче, нам нужно доказать, что результат выражения
$$\frac{\left(\frac{3}{2a-3} - 8a^3-18a\right)}{(4a^2+9)} \cdot \left(\frac{(2a)}{(4a^2-12a+9)} - \frac{3}{(4a^2-9)}\right)$$
равен -1.

Чтобы начать решение, мы можем упростить выражение, каждую дробь по отдельности. Давайте проведем эти упрощения один за другим:

\noindent\textbf{Шаг 1:}

$$\frac{3}{2a-3} - 8a^3 - 18a = \frac{3}{2a-3} - \frac{(8a^3 + 18a)}{1}$$

\noindent Упрощая знаменатель в первой дроби:
$$2a-3 = -(3-2a)$$

Таким образом, мы получаем:
$$\frac{3}{2a-3} - \frac{(8a^3 + 18a)}{1} = \frac{3}{-(3-2a)} - (8a^3 + 18a) = -\frac{3}{3-2a} - (8a^3 + 18a)$$

\noindent\textbf{Шаг 2:}

Упрощаем вторую дробь:
$$4a^2-12a+9 = (2a-3)^2$$

Таким образом, мы получаем:
$$\frac{(2a)}{(4a^2-12a+9)} = \frac{(2a)}{(2a-3)^2}$$

\noindent\textbf{Шаг 3:}

$$4a^2-9 = (2a+3)(2a-3)$$

Таким образом, мы получаем:
$$\frac{3}{4a^2-9} = \frac{3}{(2a+3)(2a-3)}$$

\noindent\textbf{Шаг 4:}

Теперь, когда мы упростили каждую дробь по отдельности, мы можем вставить их обратно в изначальное выражение и упростить его:

$$\frac{\left(\frac{\cancel{-3}}{\cancel{-(3-2a)}}\right)}{\frac{\cancelto{1}{(2a-3)^2}}{1}} \cdot \left(\frac{(2a)}{\frac{\cancelto{(2a+3)(2a-3)}{(2a+3)(2a-3)}}{1}} - \frac{3}{(2a+3)(2a-3)}\right)$$

$$=\frac{3}{(2a-3)^2} \cdot \left(\frac{2a}{(2a+3)(2a-3)} - \frac{3}{(2a+3)(2a-3)}\right)$$

$$=\frac{3}{(2a-3)^2} \cdot \frac{(2a-3)}{(2a+3)(2a-3)}$$

$$=\frac{3}{(2a+3)(2a-3)}$$

Теперь мы можем заметить, что полученное выражение равно $\frac{3}{(2a+3)(2a-3)}$, что не равно -1. Таким образом, мы можем заключить, что данный результат не равен -1.

Совет: При решении таких задач, важно внимательно упрощать каждую дробь и использовать свойства алгебры, чтобы объединить их в одно выражение. Также нужно быть аккуратным при работе с отрицательными числами и правильно применять правила арифметики.

Задание для закрепления: Представьте, что вы являетесь учителем математики и задайте своим ученикам аналогичную задачу: "Докажите, что результат выражения (2/b-5 - 9b^2-45b)/(3b^2+25) умноженного на (b/2b^2-20b+25 - 3/3b^2-15) равен 1". Попросите их раскрыть выражение и привести его к наименее упрощенному виду, чтобы увидеть, получится ли у них доказать, что значение равно 1.