Какова площадь области, ограниченной графиком функции y=4x-x^2, горизонтальной линией y=5, вертикальными линиями

Содержание: Площадь области, ограниченной графиком функции

Пояснение: Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции, горизонтальной и вертикальными линиями, мы будем использовать интегралы. В данной задаче у нас есть функция y=4x-x^2, которая представляет собой параболу, границы области заданы горизонтальной линией y=5, вертикальными линиями x=0 и x=3.

Чтобы найти площадь области, сначала найдем точки пересечения параболы и горизонтальной линии. Подставив y=5 в уравнение параболы, получим: 5 = 4x - x^2. Решив это квадратное уравнение, найдем две точки пересечения: (1, 5) и (3, 5).

Затем найдем площадь фигуры между параболой и границами области. Для этого используем определенный интеграл:

S = ∫[a, b] f(x) dx,

где [a, b] - интервал, на котором находится фигура, а f(x) - функция, ограничивающая фигуру.

В нашем случае, a = 1, b = 3 и f(x) = 4x - x^2. Подставляя значения, получим:

S = ∫[1, 3] (4x - x^2) dx.

Чтобы решить этот интеграл, мы должны взять интеграл от каждого члена по отдельности:

S = ∫[1, 3] 4x dx - ∫[1, 3] x^2 dx.

Интегрируя каждый член, получим:

S = 2x^2 |[1, 3] - (1/3)x^3 |[1, 3].

Подставляя значения и решая, получим:

S = 2(3)^2 - 2(1)^2 - (1/3)(3)^3 + (1/3)(1)^3.

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком функции y=4x-x^2, горизонтальной линией y=5, вертикальными линиями x=0 и x=3, равна:

S = 18 - 2 - 9/3 + 1/3.

Пример: Найдите площадь области, ограниченной графиком функции y=2x-x^2, горизонтальной линией y=4, вертикальными линиями x=0 и x=2.

Совет: Чтобы лучше понять площадь области, можно визуализировать график функции и границы области на координатной плоскости, чтобы увидеть, как они пересекаются и какая площадь они образуют.

Ещё задача: Найдите площадь области, ограниченной графиком функции y=x^2+2x-3, горизонтальной линией y=0, вертикальными линиями x=-3 и x=1.