Докажите, что последовательность определена рекуррентно, где а1 = 4, а2 = 10 и аn+2 = 4аn+1 — 3аn, удовлетворяет

Содержание: Рекуррентные последовательности

Описание: Рекуррентная последовательность - это последовательность чисел, где каждый следующий элемент вычисляется на основе предыдущих элементов. Для демонстрации, что последовательность, определенная рекуррентно, удовлетворяет данному условию, мы будем использовать принцип математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовые случаи:
- При n = 1: а1 = 4 = 3(1) + 1. Условие выполняется.
- При n = 2: а2 = 10 = 3(2) + 1. Условие выполняется.

Шаг 2: Предположим, что условие верно для n = k и n = k+1, где k - некоторое натуральное число. То есть, мы предполагаем, что аk = 3k + 1 и аk+1 = 3(k+1) + 1.

Шаг 3: Докажем, что условие выполняется для n = k+2, используя предположение индукции:
ан+2 = 4ан+1 - 3ан
= 4(3(k+1) + 1) - 3(3k + 1)
= 12k + 15
= 3(4k + 5) + 0*1
= 3(k+2) + 0*1

Таким образом, условие выполняется для n = k+2.

Шаг 4: По принципу математической индукции, последовательность, заданная рекуррентно и определенная начальными условиями а1 = 4 и а2 = 10, удовлетворяет условию аn = 3n + 1 для всех натуральных значений n.

Совет: При работе с рекуррентными последовательностями, важно следить за последовательностью вычислений и использовать предыдущие элементы для определения следующего. Проще всего начать с базовых случаев и применить принцип индукции для доказательства.

Задание для закрепления: Докажите, что для последовательности с начальными значениями а1 = 2 и а2 = 6, определенной рекуррентно как аn+2 = 2ан+1 - аn, выполняется условие аn = n² для всех натуральных значений n.

Содержание вопроса: Рекуррентные последовательности

Описание: Рекуррентная последовательность - это последовательность чисел, где каждый следующий элемент выражается через предыдущие элементы последовательности. В данной задаче нам нужно доказать, что данная последовательность определена рекуррентно и удовлетворяет условию аn = 3n + 1.

Для начала, проверим первые несколько элементов последовательности:

a1 = 4 (задано условием)
a2 = 10 (задано условием)
a3 = 4*a2 - 3*a1 = 4*10 - 3*4 = 40 - 12 = 28
a4 = 4*a3 - 3*a2 = 4*28 - 3*10 = 112 - 30 = 82
a5 = 4*a4 - 3*a3 = 4*82 - 3*28 = 328 - 84 = 244

Можно заметить, что при каждом новом индексе номера n, мы используем предыдущие два элемента a(n-1) и a(n-2) по формуле а(n+2) = 4*a(n+1) - 3*a(n). В результате этого получается рекуррентная формула для определения элементов последовательности.

Теперь докажем, что данная последовательность удовлетворяет условию аn = 3n + 1.

При n = 1:
a1 = 4 = 3*1 + 1
При n = 2:
a2 = 10 = 3*2 + 1

Предположим, что данное уравнение выполняется для некоторого значения k:
ак = 3k + 1

Теперь докажем, что это соотношение выполняется для следующего значения n = k+1:
a(k+1) = 4*a(k) - 3*a(k-1) = 4*(3k + 1) - 3*(3(k-1) + 1) = 12k + 4 - 9k + 3 = 3k + 7
Из этого следует, что a(k+1) также удовлетворяет условию a(n) = 3n + 1.

Таким образом, мы доказали, что данная последовательность определена рекуррентно и удовлетворяет условию аn = 3n + 1.

Совет: Для лучшего понимания рекуррентных последовательностей, рекомендуется вычислить несколько первых элементов последовательности вручную, используя заданную рекуррентную формулу. Это поможет увидеть, как каждый элемент связан с предыдущими элементами и как формируется последовательность.

Закрепляющее упражнение: Найдите значение a6 для данной рекуррентной последовательности.