Докажите, что для взаимно натуральных чисел k и n, если a^k+b^k делится на 101 и a^n+b^n делится на 101, то a+b делится

Содержание вопроса: Доказательство деления

Пояснение: Для того чтобы доказать, что a + b делится на 101, зная, что a^k + b^k и a^n + b^n делятся на 101, мы можем использовать метод доказательства по индукции.

Для начала, предположим, что a^k + b^k и a^n + b^n делятся на 101. Мы хотим доказать, что a + b также делится на 101.

Рассмотрим следующее выражение: (a^n + b^n)*(a^k - b^k) = a^(n+k) - b^(n+k). Мы знаем, что a^n + b^n и a^k + b^k делятся на 101, а значит, их произведение тоже должно делиться на 101. Следовательно, a^(n+k) - b^(n+k) делится на 101.

Теперь рассмотрим выражение a^(n+k) - b^(n+k) - (a^k + b^k)*(a^(n-k) - b^(n-k)). Заметим, что в этом выражении мы вычитаем произведение чисел a^k + b^k и a^(n-k) - b^(n-k), которое тоже делится на 101. Следовательно, это выражение также делится на 101.

Но заметим, что a^(n+k) - b^(n+k) - (a^k + b^k)*(a^(n-k) - b^(n-k)) равно a + b*(a^(n-k) - b^(n-k)). Мы уже знаем, что a^(n+k) - b^(n+k) делится на 101, значит, a + b*(a^(n-k) - b^(n-k)) также делится на 101.

Последним шагом, заметим, что a + b*(a^(n-k) - b^(n-k)) - b*(a^(n-k) - b^(n-k)) равно a, что значит, что a также должно делиться на 101.

Таким образом, мы доказали, что если a^k + b^k и a^n + b^n делятся на 101, то a + b также делится на 101.

Совет: При доказательствах по индукции, важно полностью разобрать каждый шаг из решения и обратить внимание на связь каждого шага с предыдущими. Помните, что каждый шаг должен быть строго обоснован, чтобы доказательство было верным.

Задание: Пусть k = 2, n = 3, a = 4 и b = 7. Покажите, что если a^k + b^k и a^n + b^n делятся на 101, то a + b также делится на 101.