Докажите, что для всех возможных значений переменной x значение следующих выражений: 1) -х2(в квадрате)/х2

Содержание: Доказательство неравенств

Описание:
1) Для доказательства этого неравенства, нам нужно доказать, что выражение -х^2 / (х^2 + 5) меньше или равно нулю. Чтобы это сделать, разобьем эту задачу на несколько шагов:

a) Приведем выражение к общему знаменателю: -х^2 / (х^2 + 5) = -х^2 * 1 / (х^2 + 5).

b) Умножим числитель на -1: -х^2 * 1 = -х^2.

c) Заменим выражение в знаменателе на (х^2 + 5): -х^2 / (х^2 + 5).

d) Теперь, чтобы узнать, когда это выражение меньше или равно нулю, определим его знак. Если числитель (-х^2) отрицательный, а знаменатель (х^2 + 5) положительный, то фракция будет отрицательной или нулевой.

2) Чтобы доказать, что выражение х^2 + 4х + 4 / (х^2 - 2х +1) неотрицательное и больше или равное нулю, нам необходимо провести следующие шаги:

a) Факторизуем числитель и знаменатель: (х + 2)^2 / (х - 1)^2.

b) Когда мы разложили числитель и знаменатель, замечаем, что квадраты в числителе и знаменателе гарантируют неотрицательные значения.

c) Далее, нам нужно убедиться, что выражение х + 2 неотрицательно. При анализе этого обстоятельства мы понимаем, что значение х должно быть больше или равно -2.

Таким образом, для всех возможных значений переменной х оба выражения будут иметь указанные характеристики.

Совет:
1) При решении подобных задач, всегда имейте в виду основные свойства и правила алгебры, такие как законы знаков и факторизация выражений.

2) Постарайтесь разложить выражение на произведение множителей или провести некоторые математические операции с ним, чтобы увидеть скрытые свойства или отношения.

Задание для закрепления:
Докажите, что для всех возможных значений переменной х, выражение (х - 3)^2 / (x^2 - 6x + 9) больше нуля.

Суть вопроса: Доказательство неравенств

Описание:
Для данной задачи нам необходимо доказать, что оба выражения являются отрицательными, нулевыми или неотрицательными и большими или равными нулю для всех возможных значений переменной x.

1) Рассмотрим первое выражение: -х^2 / (х^2 + 5). Чтобы доказать, что оно является отрицательным или нулевым для всех значений x, нужно рассмотреть два случая: когда знаменатель положителен и когда знаменатель равен нулю.

a) Когда знаменатель положителен (х^2 + 5 > 0), у нас остается только числитель (-х^2). Числитель отрицательный, поэтому отношение будет отрицательным.

b) Когда знаменатель равен нулю (х^2 + 5 = 0), значение выражения не определено, поэтому оно можно считать нулевым.

Таким образом, первое выражение является отрицательным или нулевым для всех возможных значений переменной x.

2) Рассмотрим второе выражение: (х^2 + 4х + 4) / (х^2 - 2х + 1). Чтобы доказать, что оно является неотрицательным и большим или равным нулю для всех значений x, нужно рассмотреть два случая: когда числитель неотрицателен и знаменатель положителен.

a) Числитель (х^2 + 4х + 4) - это квадрат суммы (х + 2)^2, который неотрицателен или равен нулю для всех значений x.

b) Знаменатель (х^2 - 2х + 1) - это квадрат разности (х - 1)^2, который также положителен для всех значений x, исключая x = 1.

Таким образом, второе выражение является неотрицательным и большим или равным нулю для всех возможных значений переменной x, кроме x = 1.

Доп. материал:
1) Докажите, что для всех значений x, выражение -x^2 / (x^2 + 5) является отрицательным или нулевым.
2) Докажите, что для всех значений x, выражение (x^2 + 4x + 4) / (x^2 - 2x + 1) является неотрицательным и большим или равным нулю.

Совет:
Для доказательства неравенств и отношений, часто полезно провести анализ различных случаев, используя свойства алгебры и арифметики. В таких случаях, важно проверить каждый случай отдельно и использовать логическое мышление.

Задача на проверку:
Докажите, что для всех значений x, выражение (2x^2 - 5x + 3) / (x^2 - x + 1) является положительным или нулевым.