Докажите, что для всех допустимых значений переменной b дробь: 1) (14b-b^2-50)/(b^2+2b+1) является отрицательной

Содержание вопроса: Докажите, что для всех допустимых значений переменной b дробь является отрицательной или неотрицательной

Пояснение: Для доказательства того, является ли дробь отрицательной или неотрицательной, мы можем проанализировать знак числителя и знак знаменателя.

1) (14b - b^2 - 50) / (b^2 + 2b + 1):
Чтобы определить знак этой дроби, мы можем разложить числитель и знаменатель на сомножители:
Числитель: 14b - b^2 - 50 = - (b^2 - 14b + 50) = - (b - 10) (b - 5)
Знаменатель: b^2 + 2b + 1 = (b + 1) (b + 1) = (b + 1)^2

Теперь мы можем заметить, что числитель содержит два линейных множителя (b - 10) и (b - 5), которые не зависят от переменной b^2 + 2b + 1, а только от b. Как известно, знак произведения двух чисел будет отрицательным, если одно из них положительное, а другое отрицательное. Таким образом, если b < 5 или b > 10, то числитель будет отрицательным.

Знаменатель (b + 1)^2 всегда будет неотрицательным, так как является квадратом выражения (b + 1).

Таким образом, в случае, когда b < 5 или b > 10, числитель отрицателен, а знаменатель неотрицателен, что означает, что всё выражение будет отрицательным.

2) (b^2 - 16b + 64) / (b^6 + 1):
Аналогично первому примеру, мы проанализируем числитель и знаменатель и попытаемся определить их знаки.
Числитель: b^2 - 16b + 64 = (b - 8)^2
Знаменатель: b^6 + 1

Числитель, (b - 8)^2, всегда является неотрицательным, так как является квадратом выражения (b - 8).

Знаменатель, b^6 + 1, также всегда является положительным, так как b^6 является неотрицательным для всех значений b, а добавление 1 делает его строго положительным.

Таким образом, в данном случае числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. Следовательно, всё выражение будет неотрицательным.

Совет: При работе с подобными задачами важно внимательно разбирать числитель и знаменатель, выделять общие множители и анализировать их знаки, чтобы понять, будет ли выражение отрицательным или неотрицательным.

Закрепляющее упражнение: Определите знак дроби (3b^2 - 7b + 2) / (2b^3 - 10b^2 + 5b) для всех допустимых значений переменной b.