Для каких значений (x, y) неравенство 12x-2x²-13> =корень из 3y²-24y+73 выполняется?

Название: Решение неравенства 12x-2x²-13 ≥√(3y²-24y+73).

Пояснение:

Для начала, давайте разберемся с каждой частью неравенства отдельно.

1. Левая часть неравенства: 12x - 2x² - 13.
Это квадратное уравнение, которое мы можем привести к стандартному виду, равному нулю:
-2x² + 12x - 13 ≥ 0.
Чтобы решить это квадратное неравенство, нам нужно найти его корни, а затем определить интервалы, где неравенство выполняется.
Мы можем найти корни, используя формулу дискриминанта: D = b² - 4ac, где a = -2, b = 12, c = -13.
Вычислим дискриминант: D = 12² - 4*(-2)*(-13) = 144 - 104 = 40.
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня: x₁ и x₂.
Решим квадратное уравнение, используя формулу [-b ± √(D)] / (2a):
x₁ = ( -12 + √40 ) / (2*(-2)) = ( -12 + 2√10 ) / (-4)
x₂ = ( -12 - √40 ) / (2*(-2)) = ( -12 - 2√10 ) / (-4)

2. Правая часть неравенства: √(3y² - 24y + 73).
Мы можем представить верхнюю границу диапазона значений, где выполняется неравенство, используя знак равенства:
3y² - 24y + 73 = 0.
Это квадратное уравнение, и мы можем решить его, чтобы найти значения y.
Также, чтобы корень был определенным и неравенство выполнялось, нам нужно, чтобы значение под корнем было больше или равно нулю:
3y² - 24y + 73 ≥ 0.
Давайте найдем корни этого уравнения. Сначала вычислим дискриминант:
D = (-24)² - 4*3*73 = 576 - 876 = -300.
Так как дискриминант отрицательный, у нас нет реальных корней.
Это означает, что значения y могут быть любыми, и неравенство выполняется для любых значений y.

3. Комбинирование двух частей неравенства.
Чтобы неравенство выполнялось, оба условия должны быть истинными. В итоге, исходя из наших вычислений:

-∞ < x < ( -12 + 2√10 ) / (-4) и ( -12 - 2√10 ) / (-4) < x < +∞, y может принимать любые значения.

Пример использования:
Пусть x = 5, y = 2.
Проверим, выполняется ли неравенство для этих значений:
12*5 - 2*5² - 13 ≥√(3*2² - 24*2 + 73)
60 - 2*25 - 13 ≥√(3*4 - 48 + 73)
60 - 50 - 13 ≥√(12 - 48 + 73)
-3 ≥√(12 - 48 + 73)
-3 ≥√37
Поскольку -3 ≥√37 является верным утверждением, неравенство выполняется для значений x = 5 и y = 2.

Совет: При работе с квадратными неравенствами важно помнить, что они могут иметь два различных решения или вообще не иметь решений, особенно при работе с дискриминантом. В данном случае, у нас есть два интервала значений x, в которых неравенство выполняется, а для y неравенство выполняется для любых значений.

Дополнительное задание:
Определите интервалы значений x и y, для которых неравенство 4x² - 10x - 3 ≤ √(2y² - 8y + 5) выполняется.