Для каких значений x выражение (Sin3x-sinx)/cos3x больше или равно нулю?

Суть вопроса: Неравенства в тригонометрии

Инструкция: Для решения данной задачи, мы должны определить, для каких значений x выражение (sin3x-sinx)/cos3x будет больше или равно нулю.

Используем следующий подход к решению:
1. Найдем общий знаменатель, который равен cos3x.
2. Выразим числитель в терминах sin3x и cos3x, используя формулу вычитания sin(a-b) = sinacosb - cosasinb.

В результате получаем следующую формулу:
(sin3x - sinx)/cos3x = 2sinx*cos2x/cos3x.

Примечание: Если cos3x = 0, то выражение (sin3x-sinx)/cos3x будет неопределенным.

Для нахождения значений x, при которых выражение больше или равно нулю, рассмотрим два случая:
1. Когда знаменатель cos3x положителен: cos3x > 0.
В этом случае, нам нужно рассмотреть знак числителя 2sinx*cos2x. Чтобы найти интервалы, где это выражение положительно, мы должны рассмотреть знаки sinx и cos2x по отдельности. Обратите внимание, что cos2x равно cos(x+x), так что мы должны рассмотреть два возможных случая по отношению к x: x ≥ 0 и x < 0.
- Возьмем x ≥ 0. Если sinx > 0 и cos2x > 0, то 2sinx*cos2x > 0. Таким образом, интервалы x ≥ 0, где sinx > 0 и cos2x > 0, являются решениями неравенства.
- Возьмем x < 0. Если sinx < 0 и cos2x < 0, то 2sinx*cos2x > 0. Таким образом, интервалы x < 0, где sinx < 0 и cos2x < 0, являются решениями неравенства.

2. Когда знаменатель cos3x отрицателен: cos3x < 0.
В этом случае, знак числителя 2sinx*cos2x должен быть отрицательным, чтобы всё выражение было больше или равно нулю. Рассмотрим два возможных случая:
- Возьмем x ≥ 0. Если sinx < 0 и cos2x < 0, то 2sinx*cos2x > 0. Но для cos3x < 0, нет решений в этом случае.
- Возьмем x < 0. Если sinx > 0 и cos2x > 0, то 2sinx*cos2x > 0. Но для cos3x < 0, нет решений в этом случае.

Таким образом, решением данного неравенства являются интервалы, когда x ≥ 0, sinx > 0 и cos2x > 0, а также интервалы, где x < 0, sinx < 0 и cos2x < 0.

Демонстрация:
Найдите значения x, для которых выражение (sin3x-sinx)/cos3x больше или равно нулю.

Совет: Чтобы более легко понять тригонометрические неравенства, важно знать основные свойства тригонометрических функций, такие как область определения функций и квадранты, в которых они положительны или отрицательны.

Упражнение: Найдите значения x, для которых выражение (sin3x-sinx)/cos3x меньше нуля.