Для каких значений параметра a уравнение x^2-(4a+3)x+3a^2+3a/x-1=0 a) имеет один корень? b) имеет только отрицательные

Тема: Решение квадратных уравнений

Инструкция: Для того чтобы найти значения параметра a, при которых данное уравнение имеет один корень, нам необходимо использовать известную формулу дискриминанта.

Пусть у нас дано уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. Дискриминант данного уравнения вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В случае, если дискриминант равен нулю (D = 0), уравнение имеет один корень.

В нашем случае уравнение записано в нестандартной форме x^2 - (4a + 3)x + (3a^2 + 3a)/(x - 1) = 0. Сначала приведём его к классической форме ax^2 + bx + c = 0, умножив обе части на (x - 1):

(x - 1)(x^2 - (4a + 3)x + (3a^2 + 3a)/(x - 1)) = 0.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^3 - (4a + 3)x^2 + (3a^2 + 3a) = 0.

Получили кубическое уравнение, которое имеет один корень, если дискриминант D равен нулю. Подставим коэффициенты в формулу дискриминанта для кубического уравнения:

D = (4a + 3)^2 - 4(1)(3a^2 + 3a).

Раскроем скобки, упростим и приравняем D к нулю:

(4a + 3)^2 - 12a^2 - 12a = 0.

Решим полученное уравнение относительно a:

16a^2 + 12a + 9 - 12a^2 - 12a = 0.

4a^2 - 3 = 0.

a^2 = 3/4.

a = ±√(3/4).

Таким образом, квадратное уравнение имеет один корень для a = ±√(3/4).

Пример:
а) Укажите значения параметра a, при которых данное уравнение имеет один корень.

Совет: Чтобы лучше понять как работает решение этой задачи, важно знать формулу для дискриминанта квадратного уравнения и уметь его применять для нахождения количества корней. Также полезно знать основные свойства квадратных уравнений, такие как основная теорема алгебры и связь между корнями и коэффициентами уравнения.

Проверочное упражнение: Решите уравнение для значения параметра a = √(3/4).