Для каких значений a уравнение (x-a)(x^2-8x+12)=0 имеет три разных корня и они образуют арифметическую прогрессию?

Тема: Уравнение квадратного трехчлена

Инструкция: Для нахождения значений a, при которых уравнение `(x-a)(x^2-8x+12)=0` имеет три разных корня, которые образуют арифметическую прогрессию, мы должны рассмотреть условия, при которых дискриминанты обоих квадратных трехчленов равны нулю.

Для `(x-a) = 0`, чтобы имелся только один корень, a должно быть равно корню x.

Для `x^2-8x+12 = 0`, чтобы имелся только один корень, дискриминант `D = (-8)^2 - 4(1)(12)` должен быть равен нулю.

Из уравнения `D = 0` мы можем рассчитать значение x, чтобы образовалась арифметическая прогрессия. Решив `D = 0`, мы получаем два корня x, из которых можно составить тройку x, x-d, x+d. Где d - шаг арифметической прогрессии.

Вычислив `D = 0`, получаем x = 2 или x = 6.

Подставив x в `(x-a) = 0`, мы получаем два значения a: a = 2 или a = 6.

Пример использования:
Уравнение `(x-a)(x^2-8x+12)=0` имеет три разных корня, образующих арифметическую прогрессию, при a = 2 и a = 6.

Совет: Чтобы понять этот материал лучше, вспомните, что для квадратного трехчлена `ax^2 + bx + c = 0`, дискриминант D = b^2 - 4ac. Если D > 0, уравнение имеет два разных корня, если D = 0, уравнение имеет один корень, а если D < 0, уравнение не имеет решений.

Упражнение:
Решите уравнение `(x-5)(x^2-10x+21)=0` и найдите значения a, при которых уравнение имеет два корня, образующих арифметическую прогрессию.