Дайте доказательство для следующего тождества: sin^2a-cos^2a=1-2cos^2a

Содержание: Доказательство тождества sin^2a - cos^2a = 1 - 2cos^2a

Разъяснение: Чтобы доказать данное тождество, мы будем использовать основные тригонометрические формулы. Давайте начнем с формулы Пифагора для синуса: sin^2a + cos^2a = 1.

Затем мы можем выразить cos^2a из этой формулы, вычитая sin^2a из обеих частей: cos^2a = 1 - sin^2a.

Теперь мы подставим это выражение в исходное тождество:

sin^2a - cos^2a = 1 - 2cos^2a.

Заменяя cos^2a по нашей формуле, получаем:

sin^2a - (1 - sin^2a) = 1 - 2(1 - sin^2a).

Далее, раскрываем скобки:

sin^2a - 1 + sin^2a = 1 - 2 + 2sin^2a.

Сокращаем подобные слагаемые:

2sin^2a - 1 = -1 + 2sin^2a.

Мы видим, что наши выражения на обоих сторонах равны, поэтому это тождество верно. Доказательство завершено.

Дополнительный материал:
Если a = π/4, то мы можем применить доказательство для данного значения угла и убедиться, что тождество выполняется.

Совет: Для лучшего понимания того, как происходит доказательство тождеств, рекомендуется прежде ознакомиться с основными тригонометрическими формулами и узнать, как они связаны друг с другом. Это поможет вам лучше понять, как и почему мы применяем определенные шаги в доказательстве.

Задание: Докажите тождество: cos^2θ - sin^2θ = cos2θ.

Содержание вопроса: Доказательство тождества sin^2a-cos^2a=1-2cos^2a

Пояснение: Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся известными тригонометрическими тождествами и свойствами синуса и косинуса.

Итак, начнем с левой стороны тождества: sin^2a - cos^2a.
Мы можем использовать формулу разности квадратов для тригонометрических функций, которая гласит, что sin^2x - cos^2x = sin(x + x) * sin(x - x).

Применим эту формулу к нашему тождеству:
sin^2a - cos^2a = sin(a + a) * sin(a - a)

Теперь вспомним тригонометрические соотношения:
sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a),
sin(0) = 0.

Заменим в нашем выражении sin(a + a) на sin(2a), а sin(a - a) на sin(0):
sin^2a - cos^2a = 2 * sin(a) * cos(a) * 0

Так как получили выражение 0 * что-либо, то результат равен 0:

sin^2a - cos^2a = 0

Теперь рассмотрим правую сторону тождества: 1 - 2cos^2a.

Нам понадобится формула двойного угла для косинуса:
cos(2a) = cos^2a - sin^2a.

Подставим в нашу правую сторону тождества значение cos(2a):
1 - 2cos^2a = 1 - 2(cos^2a - sin^2a)

Раскроем скобки:
1 - 2cos^2a = 1 - 2cos^2a + 2sin^2a

Сгруппируем слагаемые:
1 - 2cos^2a = 1 + 2sin^2a - 2cos^2a

Сократим одинаковые слагаемые:
1 - 2cos^2a = 1 - 2cos^2a

Таким образом, мы доказали, что левая и правая сторона тождества равны друг другу.

Доп. материал:
Докажите, что sin^2a - cos^2a = 1 - 2cos^2a.

Совет:
При доказательстве тригонометрических тождеств полезно использовать известные формулы и свойства тригонометрических функций. Также полезно знать основные соотношения синуса и косинуса, а также формулы двойного угла.

Упражнение:
Докажите тождество: 2sin^2x = 1 - cos(2x)