Дайте доказательство для следующего тождества: (1/(а-2)^2+2/а^2×4+1/(а+2)^2)÷2а/(а^2-4)^2=2а​

Тема урока: Доказательство тождества

Разъяснение: Для начала, давайте разложим дроби на множители, чтобы увидеть возможные сокращения.

Изначально дано тождество:

(1/(а-2)^2+2/а^2×4+1/(а+2)^2)÷2а/(а^2-4)^2=2а​

Начнем с разложения дробей:

1/(а-2)^2 = 1/(а-2)(а-2) = 1/(а^2-4а+4)

2/а^2×4 = 2/(а^2×4) = 1/(а^2)

1/(а+2)^2 = 1/(а+2)(а+2) = 1/(а^2+4а+4)

Теперь замечаем, что в знаменателях двух дробей есть квадраты разности и суммы как факторы:

(а-2)(а+2) = а^2-4
(а+2)(а+2) = а^2+4а+4

Теперь заменим исходные дроби, используя эту информацию:

(1/(а-2)^2+2/а^2×4+1/(а+2)^2)÷2а/(а^2-4)^2 = (1/(а^2-4) + 1/(а^2) + 1/(а^2+4)) ÷ (2а/(а^2-4)(а^2+4))

Мы знаем, что а^2-4 и а^2+4 сокращаются с знаменателями в каждом числителе:

1/(а^2-4) + 1/(а^2) + 1/(а^2+4) = (а^2+4 + а^2-4 + а^2) / (а^2-4)(а^2+4)

таким образом

(а^2+4 + а^2-4 + а^2) / (а^2-4)(а^2+4) ÷ 2а/(а^2-4)(а^2+4) = (3а^2) / (2а) = 2а

Дополнительный материал: Покажите доказательство тождества (1/(3-2)^2+2/3^2×4+1/(3+2)^2)÷2*3/(3^2-4)^2=2*3​

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, очень важно знать основные свойства алгебры, включая разложение дробей на множители. Также полезно тренироваться в работе с подобными заданиями, чтобы лучше усвоить процесс решения и понимание алгебраических выражений.

Дополнительное задание: Докажите следующее тождество (1/(b-3)^2+3/b^2×4+1/(b+3)^2)÷2b/(b^2-9)^2=2b​