Данные: f(x)={x2+6x+8, если x∈[−6;−1] x+2−−−−√+2, если x∈(−1;2] Постройте график данной функции. Найдите интервалы

Суть вопроса: Построение графика функции и анализ ее свойств

Пояснение:
Для построения графика данной функции f(x), сначала определим её значения на заданных интервалах. Для x ∈ [-6, -1], значение функции равно f(x) = x^2 + 6x + 8. Для x ∈ (-1, 2], значение функции равно f(x) = √(x + 2) + 2.

1. Для определения интервалов возрастания и убывания функции, найдём её производную. Функция возрастает на интервалах, где производная положительна, и убывает на интервалах, где производная отрицательна.
- Производная функции на интервале [-6, -1] равна f"(x) = 2x + 6, что положительно для x ∈ (-3, ∞), а значит функция возрастает на интервале [-3, 2].
- Производная функции на интервале (-1, 2] равна f"(x) = 1/(2√(x + 2)), что положительно для x ∈ (-1, 2], а значит функция также возрастает на интервале (-1, 2].
Таким образом, функция f(x) возрастает на интервалах [-3, 2] и (-1, 2].

2. Для нахождения экстремумов функции, найдем ее точки максимума и минимума. Экстремумы функции находятся в местах, где производная обращается в ноль.
- Производная функции на интервале [-6, -1] равна f"(x) = 2x + 6, ноль для x = -3. Таким образом, точка (-3, f(-3)) является локальным минимумом функции.
- Производная функции на интервале (-1, 2] не обращается в ноль, а значит на этом интервале экстремумов нет.

3. Для определения наибольшего и наименьшего значений функции, рассмотрим значения функции на заданных интервалах.
- На интервале [-6, -1] функция f(x) = x^2 + 6x + 8 принимает наименьшее значение в точке (-3, f(-3)), а наибольшее значение в крайней точке (-6, f(-6)).
- На интервале (-1, 2] функция f(x) = √(x + 2) + 2 принимает наибольшее значение в крайней точке (2, f(2)), а наименьшее значение в точке (-1, f(-1)).

4. Для определения интервалов, на которых функция сохраняет одинаковый знак, рассмотрим значения функции на заданных интервалах.
- На интервале [-6, -1] функция f(x) = x^2 + 6x + 8 всегда положительна.
- На интервале (-1, 2] функция f(x) = √(x + 2) + 2 всегда положительна.

5. Для определения четности функции, рассмотрим её график. Поскольку график функции симметричен относительно оси y, то функция является четной.

6. Точки пересечения с осями x и y:
- Функция f(x) = x^2 + 6x + 8 пересекает ось x при x = -4 и ось y при y = 8.
- Функция f(x) = √(x + 2) + 2 пересекает ось x при x = -2 и ось y при y = 2.

Совет: Для лучшего понимания данного материала, рекомендуется углубиться в изучение графиков функций, включая определения экстремумов, интервалов возрастания и убывания, а также пересечений с осями.

Дополнительное упражнение: Постройте график функции f(x) = x^2 - 2x + 3 и найдите интервалы, на которых функция возрастает и убывает, экстремумы (то есть максимумы и минимумы) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, интервалы, на которых функция сохраняет одинаковый знак, четность функции, корни функции и точки пересечения с осями x и y.