Что получится, если упростить выражение 2cos8acos9a–cos17a? Используйте свои навыки и опыт, чтобы изменить выражение

Тема: Упрощение тригонометрического выражения

Описание: Чтобы упростить выражение 2cos8acos9a–cos17a, мы должны использовать правила тригонометрии и алгебры. Начнем с применения формулы двойного угла для косинуса: cos(2θ) = 2cos²θ - 1. Применив эту формулу к двум косинусам, получим:
2cos8acos9a = cos(16a) + cos(–2a).

Теперь применим формулу разности косинусов: cos(θ - φ) = cosθcosφ + sinθsinφ. Применим ее к выражению cos(–2a), чтобы разделить его на два слагаемых:
cos(–2a) = cos2acos0 - sin2asin0 = cos²2a - sin²2a.

Теперь использовав формулу синуса двойного угла sin(2θ) = 2sinθcosθ, получим:
sin²2a = (1 - cos²2a).

Таким образом, наше исходное уравнение становится:
2cos8acos9a–cos17a = cos(16a) + cos(–2a) – cos17a = cos(16a) + (cos²2a – sin²2a) – cos17a = cos(16a) + (1 - cos²2a) – cos17a.

Мы можем упростить это дальше, заметив, что cos²2a + (1 – cos²2a) = 1. Подставим это наблюдение в выражение:
cos(16a) + (1 – cos²2a) – cos17a = cos(16a) + 1 – cos²2a – cos17a = cos(16a) + 1 – 1 – cos²2a – cos17a = cos(16a) – cos²2a – cos17a.

Этот ответ является упрощением изначального выражения.

Пример использования: Если исходное выражение 2cos8acos9a–cos17a, то упрощенное выражение будет cos(16a) – cos²2a – cos17a.

Совет: Запомните основные формулы тригонометрии, такие как формула двойного угла и формула разности косинусов. Применяйте их с осторожностью, чтобы не запутаться в алгебраических преобразованиях.

Упражнение: Упростите следующее выражение: 3sin²x – cos²x.