Что будет результатом выражения cos^3(y) * cos^4(y) + sin^3(y) * sin^4(y) - 4, если cos(y

Тема занятия: Вычисление выражения с тригонометрическими функциями

Разъяснение:
Дано выражение: cos^3(y) * cos^4(y) + sin^3(y) * sin^4(y) - 4, где cos(y) = 1/2.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества.

При вычислении данного выражения, мы можем заметить, что:
cos^3(y) * cos^4(y) - это косинус в степени 7, а sin^3(y) * sin^4(y) - это синус в степени 7.

Таким образом, получаем: cos^7(y) + sin^7(y) - 4.

Обратимся к тригонометрическому тождеству:
cos^2(y) + sin^2(y) = 1.

Возведем это тождество в степень 3:
(cos^2(y) + sin^2(y))^3 = 1^3,
cos^6(y) + 3*cos^4(y)*sin^2(y) + 3*cos^2(y)*sin^4(y) + sin^6(y) = 1.

Теперь вычтем 2*cos^3(y)*sin^4(y) из выражения:
cos^6(y) + 3*cos^4(y)*sin^2(y) + 3*cos^2(y)*sin^4(y) + sin^6(y) - 2*cos^3(y)*sin^4(y) = 1 - 2*cos^3(y)*sin^4(y).

Теперь мы можем выразить нужное нам выражение:
cos^7(y) + sin^7(y) = 1 - 2*cos^3(y)*sin^4(y).

Подставим значение cos(y) = 1/2 вместо cos(y):
cos^7(y) + sin^7(y) = 1 - 2*(1/2)^3*(sin(y))^4.

После упрощения получаем:
cos^7(y) + sin^7(y) = 1 - 2*(1/8)*(sin(y))^4.

Таким образом, результатом данного выражения будет 1 - (1/4)*(sin(y))^4 - 4.

Например:
Подставим значение sin(y) = 1/3, вместо sin(y), чтобы найти конечный результат.
cos^7(y) + sin^7(y) - 4 = 1 - (1/4)*(sin(y))^4 - 4 = 1 - (1/4)*(1/3)^4 - 4 = 1 - (1/4)*(1/81) - 4 = 1 - 1/324 - 4 = -1353/324.

Совет:
Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется изучить основные тригонометрические тождества и научиться применять их в задачах.

Задача для проверки:
Вычислите значение выражения cos^2(x)*(cos^4(x)-sin^4(x)) при cos(x) = 2/3 и sin(x) = 3/5.