Чему равен элемент a14 и a16 в геометрической прогрессии {an}, если a14=24 и a16=54?

Тема: Геометрическая прогрессия

Пояснение: Геометрическая прогрессия (ГП) - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии или q.

Формула общего члена ГП: an = a1 * q^(n-1), где a1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Для нахождения значения элементов a14 и a16, нам дано, что a14 = 24 и a16 = 54.

Мы можем использовать эту информацию, чтобы составить систему уравнений и найти значения a1 и q.

Уравнение для a14: 24 = a1 * q^(14-1)
Уравнение для a16: 54 = a1 * q^(16-1)

Решим эту систему уравнений. Так как a1 и q будут одинаковыми в обоих уравнениях, мы можем поделить первое уравнение на второе уравнение, чтобы избавиться от a1:

24/54 = (a1 * q^(14-1)) / (a1 * q^(16-1))

Упрощая это уравнение, получим:

2/3 = q^2

Из этого уравнения мы можем найти значение q:

q^2 = 2/3
q = sqrt(2/3) (корень из 2/3)

Теперь, найдя значение q, мы можем найти a1, используя одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

24 = a1 * q^(14-1)

Подставим значение q:

24 = a1 * (sqrt(2/3))^(13)
24 = a1 * sqrt((2/3)^13)
24 = a1 * sqrt(8192/1594323)
24 = a1 * (1/127)

Выражая a1, получим:

a1 = 24 * 127 = 3048.

Теперь мы можем найти значение элементов a14 и a16, используя формулу общего члена ГП:

a14 = a1 * q^(14-1) = 3048 * (sqrt(2/3))^(13) ≈ 46.44
a16 = a1 * q^(16-1) = 3048 * (sqrt(2/3))^(15) ≈ 104.48

Пример: Найдите элемент a14 и a16 в геометрической прогрессии, если a1 = 3048 и q = sqrt(2/3).

Совет: Чтобы лучше понять геометрическую прогрессию, решайте больше задач и экспериментируйте с разными значениями a1 и q. Используйте формулу общего члена ГП для проверки своих расчетов.

Закрепляющее упражнение: Найдите элементы a10 и a12 в геометрической прогрессии, если a1 = 2 и q = 3. (Ответ: a10 ≈ 486 и a12 ≈ 1458)