Будут ли следующие функции непрерывными в точке 2: a) 3

Тема занятия: Непрерывность функций

Описание: Непрерывность функции в точке означает, что значение функции в этой точке не прерывается, то есть не имеет разрывов или различных пределов слева и справа от этой точки.

Чтобы определить, непрерывна ли функция в точке 2, мы должны проверить, существуют ли левосторонний и правосторонний пределы функции в данной точке и равны ли они значению функции в этой точке.

а) Функция $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$.
- Найдем предел функции при $x$ стремящемся к 2 справа и слева:
$$
\lim_{{x \to 2^-}} f(x) = \lim_{{x \to 2^-}} (3x^2 - 2x + 1) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 11
$$
$$
\lim_{{x \to 2^+}} f(x) = \lim_{{x \to 2^+}} (3x^2 - 2x + 1) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 11
$$

- Теперь проверим, равны ли найденные пределы значению функции в точке 2:
$$
f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 11
$$

Поскольку пределы и значение функции в точке 2 равны, можно сделать вывод, что функция непрерывна в точке 2.

Демонстрация: Определим, является ли функция $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ непрерывной в точке 2?

Совет: Для проверки непрерывности функции в точке, необходимо найти пределы функции справа и слева от данной точки и сравнить их со значением функции в этой точке. Если пределы и значение функции совпадают, то функция непрерывна в данной точке.

Практика: Проверьте, является ли функция $g(x) = \frac{1}{x}$ непрерывной в точке $x = 3$.

Название: Непрерывность функций в точке

Инструкция: Для определения непрерывности функции в определенной точке, мы должны проверить, существуют ли пределы функции как x приближается к этой точке с обеих сторон, и равны ли они между собой. Если это так, тогда функция является непрерывной в этой точке.

a) Функция f(x) = 3x^2 - 5x + 2

Чтобы определить, является ли функция f(x) непрерывной в точке x = 2, мы рассмотрим пределы функции с обеих сторон этой точки.

Слева от точки x = 2, приближаемся к ней значением x < 2:

lim(x → 2-) f(x) = lim(x → 2-) (3x^2 - 5x + 2) = 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 6 - 10 + 2 = -2

Справа от точки x = 2, приближаемся к ней значением x > 2:

lim(x → 2+) f(x) = lim(x → 2+) (3x^2 - 5x + 2) = 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 6 - 10 + 2 = -2

Пределы функции f(x) слева и справа от точки x = 2 равны -2, что означает, что пределы существуют и равны друг другу.

Следовательно, функция f(x) = 3x^2 - 5x + 2 непрерывна в точке x = 2.

Демонстрация: Проверить, является ли функция f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x непрерывной в точке x = 3.

Совет: Чтобы быстро определить непрерывность функции в точке, вычислите пределы слева и справа от этой точки и убедитесь, что они равны.

Проверочное упражнение: Проверить, является ли функция g(x) = ln(x) непрерывной в точке x = 1.