Алгебра для 10 класса. Вторая контрольная работа по теме Вычисление производных . Вариант 1. 1. Найдите производные

Суть вопроса: Вычисление производных

Пояснение:
Для решения данной задачи по вычислению производных нам необходимо использовать правила дифференцирования, чтобы найти производные данных функций. Возьмем каждую функцию по очереди и найдем ее производную, используя соответствующие правила.

a) Для функции f(x) = 6х10-1, мы просто берем производную от x в качестве константы, получая f"(x) = 6 * 10 * x^(10-1) = 60x^9.

б) Для функции f(x) = 12х7 + 17х3, мы найдем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их, получая f"(x) = 12 * 7 * x^(7-1) + 17 * 3 * x^(3-1) = 84x^6 + 51x^2.

в) Для функции f(x) = 11х6 + 5х - 24 – 2х3, мы также найдем производную каждого слагаемого и сложим их, получая f"(x) = 11 * 6 * x^(6-1) + 5 * x^(1-1) - 2 * 3 * x^(3-1) = 66x^5 + 5 - 6x^2.

г) Для функции f(x) = (3x-14)∙(3х2 + 5), мы воспользуемся правилом производной произведения функций, получая f"(x) = (3 * (3x-14)) * (2 * 3x + 5) + (3x-14) * (2 * 3) = (9x-42) * (6x + 5) + (3x-14) * 6.

д) Для функции f(x) = -3 sin(5х-6) + 12х2, мы используем правило дифференцирования синуса и производную от x^2 по отдельности, получая f"(x) = -3 * cos(5x-6) * 5 + 12 * 2x = -15 cos(5x-6) + 24x.

e), ж), з) Необходимо уточнить предложения, так как они содержат непонятные ссылки "hello_html_64e23fe3.gif", "hello_html_m686a99b7.gif" и "hello_html_4b3d9826.gif".

Аналогично нам необходимо найти производные функций из второго пункта и затем подставить значения х = 1 и х = 0, чтобы найти их значения.

Демонстрация:
1. а) Функция f(x) = 6х10-1 имеет производную f"(x) = 60x^9.
2. б) Функция f(x) = 12х7 + 17х3 имеет производную f"(x) = 84x^6 + 51x^2.
3. в) Функция f(x) = 11х6 + 5х - 24 – 2х3 имеет производную f"(x) = 66x^5 + 5 - 6x^2.
4. г) Функция f(x) = (3x-14)∙(3х2 + 5) имеет производную f"(x) = (9x-42) * (6x + 5) + (3x-14) * 6.
5. д) Функция f(x) = -3 sin(5х-6) + 12х2 имеет производную f"(x) = -15 cos(5x-6) + 24x.

Совет:
Для более легкого понимания и вычисления производных, рекомендуется повторить правила дифференцирования и знакомиться с основными свойствами каждого типа функций. Упражняйтесь в вычислении производных различных функций, чтобы приобрести навыки и уверенность в этом разделе математики.

Проверочное упражнение:
1. Найдите производную функции f(x) = 4x^3 + 7x^2 - 3x + 2.
2. Найдите производные функций f(x) = e^x - ln(x) и g(x) = sqrt(x) + 1/x.
3. Найдите производную функции f(x) = 2^(3x+1) - 5 * cos^2(x).

Вычисление производных:
1. a) f(x) = 6x^10 - 1
Чтобы найти производную этой функции, нужно умножить показатель степени на коэффициент и уменьшить степень на 1: f"(x) = 6 * 10x^(10-1) = 60x^9.

б) f(x) = 12x^7 + 17x^3
Аналогично предыдущему примеру, находим производную каждого слагаемого: f"(x) = 12 * 7x^(7-1) + 17 * 3x^(3-1) = 84x^6 + 51x^2.

в) f(x) = 11x^6 + 5x - 24 – 2x^3
Производная каждого слагаемого: f"(x) = 11 * 6x^(6-1) + 5 * 1 - 2 * 3x^(3-1) = 66x^5 + 5 - 6x^2.

г) f(x) = (3x-14) * (3x^2 + 5)
Применим формулу производной произведения функций: f"(x) = (3x^2 + 5) * 3 + (3x-14) * (2 * 3x) = 9x^2 + 15 + 6x(3x-14) = 9x^2 + 15 + 18x^2 - 84x = 27x^2 - 84x + 15.

д) f(x) = -3sin(5x-6) + 12x^2
Производная синуса равна производной его аргумента, умноженной на производную самой функции: f"(x) = -3 * cos(5x-6) * (5-6) + 12 * 2x = -3 * cos(5x-6) - 12x + 24x = -3 * cos(5x-6) + 12x(2-1) = -3 * cos(5x-6) + 12x.

e) Функция hello_html_64e23fe3.gif не задана или содержит недопустимое имя. Пожалуйста, уточните задачу.

ж) Функция hello_html_m686a99b7.gif не задана или содержит недопустимое имя. Пожалуйста, уточните задачу.

з) Функция hello_html_4b3d9826.gif не задана или содержит недопустимое имя. Пожалуйста, уточните задачу.

2. a) f(x) = (3x - 2)^7
Возьмем производную используя формулу для степенной функции: f"(x) = 7(3x - 2)^(7-1) * 3 = 21(3x - 2)^6.
Подставим значения x = 1 и x = 0 в f"(x):
При x = 1, f"(1) = 21(3 - 2)^6 = 21.
При x = 0, f"(0) = 21(0 - 2)^6 = 21(-2)^6 = 21 * 64 = 1344.

б) f(x) = (6 - 4x)^11
Производная: f"(x) = 11(6 - 4x)^(11-1) * (-4) = -44(6 - 4x)^10.
При x = 1, f"(1) = -44(6 - 4)^10 = -44 * 2^10 = -45056.
При x = 0, f"(0) = -44(6 - 4 * 0)^10 = -44 * 6^10.

в) Функция hello_html_25a29f9.gif не задана или содержит недопустимое имя. Пожалуйста, уточните задачу.

3. Дано тело с массой 63 кг, движущееся прямолинейно по закону S(x) = 25x - 2x^2.
Рассчитаем силу, действующую на тело, используя вторую производную: F(x) = m * S""(x), где m - масса тела.
S""(x) = 0 - 2 = -2 (вторая производная функции).
F(x) = 63 * (-2) = -126 Н (сила, направленная в противоположную сторону движения).