а) Определите, является ли функция f(x) = sin^2/x^2-1 четной или нечетной. б) Определите, является ли функция f(x

Предмет вопроса: Определение четности и нечетности функций

Пояснение: Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проанализировать ее свойства относительно оси ординат (y-оси) и оси абсцисс (x-оси).

а) Для функции f(x) = sin^2(x)/(x^2-1):

1. Проверяем свойство четности:
- Если f(-x) = f(x) для всех x, то функция является четной.
- Вычислим f(-x): f(-x) = sin^2(-x)/((-x)^2-1)
Заметим, что sin^2(-x) = sin^2(x) (так как sin^2(x) - это квадрат sin(x), который является четной функцией), а также (-x)^2 = x^2.
Подставляем это в выражение: f(-x) = sin^2(x)/(x^2-1) = f(x)
- Таким образом, функция f(x) является четной.

б) Для функции f(x) = cos(x^3)/(x(25-x^2)):

1. Проверяем свойство четности:
- Если f(-x) = f(x) для всех x, то функция является четной.
- Вычислим f(-x): f(-x) = cos((-x)^3)/(-x(25-(-x)^2))
Заметим, что (-x)^3 = -x^3 и (-x)^2 = x^2.
Подставляем это в выражение: f(-x) = cos(-x^3)/(-x(25-x^2)) = cos(x^3)/(x(25-x^2)) = f(x)
- Таким образом, функция f(x) является четной.

в) Для функции f(x) = x^5*cos(3x):

1. Проверяем свойство нечетности:
- Если f(-x) = -f(x) для всех x, то функция является нечетной.
- Вычислим f(-x): f(-x) = (-x)^5*cos(3*(-x)) = -x^5*cos(3x)
- Умножаем f(x) на -1: -f(x) = -x^5*cos(3x)
- Заметим, что f(-x) = -f(x)
- Таким образом, функция f(x) является нечетной.

г) Для функции f(x) = (4+cos(x))*(sin^6(x)-1):

1. Проверяем свойство нечетности:
- Если f(-x) = -f(x) для всех x, то функция является нечетной.
- Вычислим f(-x): f(-x) = (4+cos(-x))*(sin^6(-x)-1)
Заметим, что cos(-x) = cos(x) (так как cos(x) - это четная функция), а также sin^6(-x) = sin^6(x)
Подставляем это в выражение: f(-x) = (4+cos(x))*(sin^6(x)-1) = f(x)
- Таким образом, функция f(x) является нечетной.

Совет: Четные функции имеют ось симметрии относительно оси ординат, поэтому значения функции симметричны относительно этой оси. Нечетные функции не имеют оси симметрии, но обладают свойством нечетности, при котором значения функции относительно осей ординат и абсцисс симметричны. Приглядитесь к графика функции, чтобы увидеть эти особенности.

Задание для закрепления: Определите, являются ли следующие функции четными или нечетными:

а) f(x) = x^3 - x^2 + x

б) f(x) = sin(x^2)/(1 + cos(x))

в) f(x) = |x^2 - 4|

г) f(x) = e^(-x^2) + x^2 + 1