а) Найдите значение x, удовлетворяющее уравнению log base 2 (cos x+ sin 2x +8) = 3. б) Определите все значения

Тема: Логарифмы

Разъяснение:

Логарифмы - это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм позволяет найти показатель степени, в которую нужно возвести определенное число, чтобы получить другое число.

а) Чтобы найти значение x, удовлетворяющее уравнению log base 2 (cos x+ sin 2x +8) = 3, мы должны применить определение логарифма и решить уравнение относительно x.

1. Начнем с преобразования логарифма:
log base 2 (cos x+ sin 2x +8) = 3

2. Применяя определение логарифма, получаем:
cos x+ sin 2x +8 = 2^3 = 8

3. Далее вычитаем 8 с обеих сторон уравнения:
cos x + sin 2x = 0

4. Теперь раскроем sin 2x, используя тождество двойного угла:
cos x + 2sin xcos x = 0

5. Факторизуем это уравнение:
cos x (1 + 2sin x) = 0

6. Получаем два возможных решения:
1) cos x = 0 => x = π/2 + πk, где k - целое число.
2) 1 + 2sin x = 0 => 2sin x = -1 => sin x = -1/2 => x = 7π/6 + 2πk или 11π/6 + 2πk, где k - целое число.

б) Чтобы определить все значения x, являющиеся корнями уравнения на интервале [1,5π; 3π], нужно проверить каждое из найденных решений на принадлежность этому интервалу. Так как 1,5π ≤ x ≤ 3π, мы проверяем каждое решение в этом диапазоне.

1. Подставляем x = π/2 + πk в диапазон [1,5π; 3π]:
π/2 ≤ (π/2 + πk) ≤ 3π
Получаем, когда k = 0: π/2 ≤ π/2 ≤ 3π - условие выполняется.
Получаем, когда k = 1: π/2 + π ≤ π/2 + π ≤ 3π - условие тоже выполняется.

2. Подставляем x = 7π/6 + 2πk в диапазон [1,5π; 3π]:
1,5π ≤ (7π/6 + 2πk) ≤ 3π
Получаем, когда k = 0: 1,5π ≤ 7π/6 ≤ 3π - условие не выполняется, так как 7π/6 не принадлежит интервалу [1,5π; 3π].
Получаем, когда k = 1: 1,5π + 2π ≤ 7π/6 + 2π ≤ 3π - условие тоже не выполняется.

Итак, на интервале [1,5π; 3π] уравнение log base 2 (cos x+ sin 2x +8) = 3 имеет два корня: x = π/2 и x = π/2 + π.

Совет:
При решении уравнений с логарифмами всегда необходимо проверить найденные корни на соответствие исходному уравнению, особенно если в ходе решения были использованы преобразования, влияющие на область определения.

Задание:
Решите уравнение log base 3 (5x + 4) = 2 и объясните каждый шаг решения.