A) Найдите решение уравнения: 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0 B) Определите все значения x, находящиеся в интервале

Тема: Решение логарифмического уравнения

Описание: Чтобы найти решение данного логарифмического уравнения, мы будем использовать свойства логарифмов. Для начала, давайте разберемся с общей формулой логарифма. Логарифм по основанию b от числа a записывается как logb(a). Используя это свойство, мы можем переписать уравнение следующим образом:

2log4^2(4sinx) - 3log4(sinx) - 2 = 0

log4^2(4sinx)^2 - log4(sinx)^3 - 2 = 0

Затем, воспользуемся другим свойством, согласно которому alogb(c) = logb(c^a). Применим это правило к уравнению:

log4(4sinx)^4 - log4(sinx)^3 - 2 = 0

Объединим логарифмы с одинаковыми основаниями:

log4[((4sinx)^4)/((sinx)^3)] - 2 = 0

Мы можем упростить выражение:

log4((4sinx)/(sinx))^4 - 2 = 0

Теперь избавимся от логарифма:

((4sinx)/(sinx))^4 - 2 = 4

Упростив выражение:

16 - 2 = 4

14 = 4

Получили противоречие. Значит, данное уравнение не имеет решений.

Совет: При решении логарифмических уравнений всегда проверяйте полученные решения, чтобы исключить противоречия.

Закрепляющее упражнение: Решите уравнение 3log2(x) + log2(x - 2) = 2 и проверьте свое решение.

Содержание: Решение логарифмических уравнений

Описание:

Для решения данного уравнения мы будем использовать свойства логарифмов и решать его пошагово.

A) Для начала, давайте преобразуем уравнение следующим образом:
2log4^2(4sinx) - 3log4(sinx) - 2 = 0

2(log4(4sinx))^2 - 3log4(sinx) - 2 = 0

Обозначим log4(sinx) за u. Тогда получим следующее уравнение:
2u^2 - 3u - 2 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью факторизации или использовать формулу дискриминанта.

Факторизация:
(2u + 1)(u - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения u:
2u + 1 = 0, откуда u = -1/2
u - 2 = 0, откуда u = 2

Теперь заменим u обратно на log4(sinx) и решим каждое уравнение по отдельности.

1) log4(sinx) = -1/2:
Найдем значение аргумента, при котором это возможно:
4^(-1/2) = sinx
1/√4 = sinx
1/2 = sinx
Таким образом, x = π/6 или x = 5π/6

2) log4(sinx) = 2:
Аналогично, найдем значение аргумента:
4^2 = sinx
16 = sinx
Таким образом, данное уравнение не имеет решения.

B) Теперь определим все значения x, лежащие в интервале [-3π/2 ; 3π/4], при которых уравнение имеет корни:
В предыдущем пункте мы уже нашли значения x, которые удовлетворяют уравнению.
Таким образом, в интервале [-3π/2 ; 3π/4] у нас есть два корня: x = π/6 и x = 5π/6.

Пример:
A) Для решения уравнения 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0, мы преобразовали его в квадратное уравнение и нашли значения x, при которых уравнение имеет корни.

B) Для определения всех значений x, лежащих в интервале [-3π/2 ; 3π/4], мы использовали значения x, найденные в предыдущем пункте.

Совет: При решении логарифмических уравнений обратите внимание на ограничения области определения, чтобы исключить возможные значения, которые не подходят. Также, не забудьте проверить полученные ответы, подставив их обратно в исходное уравнение.

Ещё задача:
Решите уравнение: 3log3(x-2) + log3(x+1) = 4. Найдите все корни.