а) Какова область определения функции y=f(x)? б) Где расположены нули функции y=f(x)? в) Каковы промежутки возрастания

Тема: Анализ функций

Объяснение: Анализ функций является одной из важных тем в математике. Он позволяет нам понять поведение функции в зависимости от значения аргумента. Рассмотрим каждый пункт задачи по очереди:

а) Область определения функции y=f(x) - это множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция определена и имеет смысл. Чтобы найти область определения, необходимо учесть все ограничения, которые могут присутствовать в задаче. Например, если функция содержит знаменатель, то x не может быть равным нулю, иначе функция будет неопределена.

б) Нули функции y=f(x) - это значения аргумента x, при которых функция равна нулю. Для найти нули функции, необходимо решить уравнение f(x) = 0. Эти значения x указывают на точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

в) Промежутки возрастания и убывания функции y=f(x) - это интервалы значений аргумента x, на которых функция возрастает или убывает. Чтобы найти эти промежутки, необходимо проанализировать производную функции. Если производная положительна на интервале, то функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.

г) Наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) - это экстремумы функции. Для нахождения этих значений необходимо найти точки, где производная функции равна нулю и проанализировать поведение функции в окрестности этих точек. Если функция меняет свой знак, то это является локальным экстремумом.

д) Чтобы найти значения x, при которых функция f(x) меньше -2, нужно решить неравенство f(x) < -2.

Пример использования:
а) Функция y = 2x + 3 имеет область определения для любого значения x.
б) Нули функции y = x^2 - 4x + 3 можно найти, решив уравнение x^2 - 4x + 3 = 0.
в) Функция y = x^3 - 3x^2 + 2x имеет промежутки возрастания на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞) и промежутки убывания на интервале (-1, 2).
г) Функция y = x^2 - 4x + 3 имеет наименьшее значение равное 2 при x = 2 и не имеет наибольшего значения, так как это парабола, которая стремится к бесконечности.
д) Функция y = 2x - 5 меньше -2 при значениях x < 1.

Совет: Для лучшего понимания и закрепления материала, необходимо решать множество задач разного уровня сложности и строить графики функций.

Упражнение: Найдите область определения, нули функции, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции, а также значения x, при которых функция меньше -3 для функции y = 3x^2 - 2x - 1.