What is the rewritten form of the equation (cosx-cosy)^2-(sinx-siny)^2=-4sin (x-y)/2 cos(x+y)?

Тема: Решение уравнения

Инструкция: Для переписывания данного уравнения в другой форме, мы начнем с применения основных тригонометрических тождеств. Воспользуемся формулами:

1. Разность квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
2. Разность двух косинусов: \(2\sin^2{\frac{a - b}{2}}\)
3. Разность двух синусов: \(2\sin{\frac{a - b}{2}}\cos{\frac{a + b}{2}}\)

Применим эти тождества к уравнению:
\((\cos{x} - \cos{y})^2 - (\sin{x} - \sin{y})^2 = -4\sin{\frac{x - y}{2}}\cos{(x + y)}\)

1. Разность квадратов:
\((\cos{x} + \cos{y})(\cos{x} - \cos{y}) - (\sin{x} - \sin{y})(\sin{x} + \sin{y}) = -4\sin{\frac{x - y}{2}}\cos{(x + y)}\)

2. Разность двух синусов:
\((\cos{x} + \cos{y})(\cos{x} - \cos{y}) - 2\sin{\frac{x - y}{2}}\cos{\frac{x + y}{2}}\cos{\frac{x + y}{2}} = -4\sin{\frac{x - y}{2}}\cos{(x + y)}\)

3. Разность двух косинусов:
\[\left(\cos{x} + \cos{y}\right)\left(-2\sin{\frac{x - y}{2}}\sin{\frac{x + y}{2}}\right) - 2\sin{\frac{x - y}{2}}\cos{\frac{x + y}{2}}\cos{\frac{x + y}{2}} = -4\sin{\frac{x - y}{2}}\cos{(x + y)}\]

Мы получили новое уравнение, записанное в другой форме. Убедитесь, что вы правильно применили тождества, и проверьте ваше решение.

Доп. материал: Ученику нужно переписать уравнение: \((\cos x - \cos y)^2 - (\sin x - \sin y)^2 = -4\sin \frac{x-y}{2}\cos(x+y)\)

Совет: При работе с тригонометрическими уравнениями полезно вспомнить основные тригонометрические формулы и тождества, такие как разность квадратов, разность двух синусов и разность двух косинусов. Независимо от уровня сложности уравнения, всегда старайтесь применять эти тождества и сводить к более простым формам. Регулярная практика таких уравнений поможет вам стать более уверенным в их решении.

Задание для закрепления: Перепишите уравнение \((\sin a + \sin b)^2 - (\cos a - \cos b)^2 = 4\cos{\frac{a + b}{2}}\sin{\frac{a + b}{2}}\) в другой форме, используя тригонометрические тождества.