а) Какие значения x являются действительными числами, при которых неравенство |x-4|

Тема вопроса: Решение неравенства с модулем

Объяснение: Неравенство вида |x - a| < b читается как "модуль разности x и a меньше b". Чтобы решить такое неравенство, нужно учесть два возможных случая: x - a может быть положительным или отрицательным числом. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Пусть x - a ≥ 0. В таком случае, модуль |x - a| будет равен самому выражению x - a: |x - a| = x - a. Теперь мы можем переписать неравенство следующим образом: x - a < b. Добавим a ко всем частям неравенства: x < b + a.

2) Пусть x - a < 0. В этой ситуации модуль |x - a| будет равен противоположному числу выражения x - a: |x - a| = -(x - a) = a - x. Теперь перепишем неравенство: a - x < b. Вычтем a из обеих частей неравенства: -x < b - a. Умножим обе части на -1 и поменяем направление неравенства: x > a - b.

Таким образом, получаем два неравенства для решения: x < b + a и x > a - b. Объединив эти два неравенства, получаем ответ: a - b < x < a + b.

Дополнительный материал: Решим неравенство |x - 4| < 3.
1) Пусть x - 4 ≥ 0. Тогда x < 3 + 4, то есть x < 7.
2) Пусть x - 4 < 0. Тогда 4 - x < 3, что эквивалентно x > 1.
Объединяя эти два случая, мы получаем 1 < x < 7.

Совет: Для решения неравенств с модулями полезно знать свойства модуля: |a-b| = |b-a| и модуль всегда неотрицателен |x| ≥ 0. Также, помните, что при изменении знака модуля, направление неравенства меняется.

Задание: Решите неравенство |2x - 5| ≤ 8.