а) Какие точки пересечения с осью x имеет функция y = -x^2 + 4x? б) В каких интервалах функция возрастает и убывает?

Содержание: Функции квадратные

Описание:
а) Чтобы определить точки пересечения с осью x, нужно приравнять функцию к нулю и найти значения x, при которых y = 0. В данной функции у нас имеется квадратный член -x^2 и линейный член 4x.
Подставим y = 0 и решим уравнение:
0 = -x^2 + 4x.

Для решения этого квадратного уравнения, нужно привести его к стандартной форме, которая выглядит так: ax^2 + bx + c = 0.
Здесь имеются следующие коэффициенты:
a = -1, b = 4, c = 0.

Приведем уравнение к стандартной форме:
-x^2 + 4x = 0.

Полученное уравнение можно факторизовать:
x(-x + 4) = 0.

Теперь мы можем найти значения x, при которых функция равна нулю:
x = 0 или ( -x + 4) = 0.

Таким образом, точки пересечения с осью x равны x = 0 и x = 4.

б) Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает, нужно проанализировать коэффициент при x^2, который в данном случае равен -1. Если коэффициент отрицательный (-), то функция будет убывать на всем множестве допустимых значений x, а если коэффициент положительный (+), то функция будет возрастать на всем множестве допустимых значений x. В данном случае, функция y = -x^2 + 4x имеет отрицательный коэффициент при x^2, следовательно, она будет убывать на всем множестве допустимых значений x.

в) Диапазон значений функции можно определить, проанализировав график функции. Так как мы уже знаем, что функция y = -x^2 + 4x убывает, то максимальное значение функции будет на самом начале графика, а минимальное на его конце. Для определения диапазона значений можно также использовать понятие вершины параболы. В данном случае, вершина параболы будет максимальной точкой на графике, так как у нас имеется отрицательный коэффициент при квадрате x. Чтобы найти координаты вершины, используется формула x = -b/2a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данной функции a = -1, b = 4. Подставим значения в формулу: x = -4/(-2*1) = -4/-2 = 2. Затем подставим полученное значение x в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение y: y = -2^2 + 4*2 = -4 + 8 = 4. Таким образом, диапазон значений функции y = -x^2 + 4x будет от минус бесконечности до 4.

Пример:
а) Функция y = -x^2 + 4x имеет две точки пересечения с осью x: x = 0 и x = 4.

б) Функция y = -x^2 + 4x убывает на всем множестве допустимых значений x.

в) Диапазон значений функции y = -x^2 + 4x равен от минус бесконечности до 4.

Совет: Для лучшего понимания функций квадратных, рекомендуется ознакомиться с графиками парабол и как их уравнения влияют на форму графика. Также полезно решать практические задачи и проводить собственные исследования на основе данной темы.

Дополнительное задание: Найдите вершину параболы для следующей функции: y = -3x^2 + 6x - 2.