А) Ищите решение уравнения: 8sin⁴x+10sin²x-3=0. б) Найдите все значения x, которые являются корнями данного уравнения

Тема: Решение уравнения с использованием тригонометрии

Объяснение:

а) Чтобы найти решение данного уравнения, которое содержит тригонометрические функции, мы можем использовать замену, чтобы преобразовать его в уравнение относительно одной тригонометрической функции. В данном случае, мы можем заменить sin²x в уравнении с помощью идентичности sin²x = 1 - cos²x. Таким образом, уравнение принимает вид:

8(1 - cos²x)² + 10(1 - cos²x) - 3 = 0.

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

8(1 - 2cos²x + cos⁴x) + 10 - 10cos²x - 3 = 0.

Упрощая дальше, получаем:

8cos⁴x - 28cos²x + 15 = 0.

Это обычное квадратное уравнение относительно cos²x.

б) Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Подставляем a = 8, b = -28 и c = 15 в формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac.

D = (-28)² - 4(8)(15) = 784 - 480 = 304.

Поскольку дискриминант D больше нуля, у уравнения есть два различных корня.

Затем, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

cos²x = (-b ± √D) / (2a).

cos²x = (28 ± √304) / 16.

Высчитываем значения выражения и затем найденные значения подставляем в обратную функцию cos⁻¹:

x₁ = cos⁻¹(√((28 + √304) / 16)).
x₂ = cos⁻¹(√((28 - √304) / 16)).

Таким образом, находим значение каждого корня уравнения x, принадлежащего интервалу [-7π/2; -2π].

Совет:

Для успешного решения уравнений с тригонометрией, полезно изучить основные тригонометрические идентичности и формулы. Также стоит понимать, как применить эти идентичности и формулы для преобразования данных уравнений и нахождения корней.

Упражнение:

Решить следующее уравнение: 3sin²x - 2cos²x = 1, с использованием тригонометрических идентичностей.