№8. Выведите доказательство того, что производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции

Задача 8

Инструкция:

Чтобы доказать, что производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции - четной, воспользуемся определениями четной и нечетной функций.

1. Четная функция - это функция, для которой выполняется условие f(-x) = f(x), то есть симметрия относительно оси ординат.

2. Нечетная функция - это функция, для которой выполняется условие f(-x) = -f(x), то есть симметрия относительно начала координат.

Пусть у нас есть производная функции f"(x), и она является четной. Докажем, что f(x) будет нечетной функцией.

Для четной функции выполняется f"(-x) = f"(x), так как производная четной функции также четная. Но, согласно определению нечетной функции (f(-x) = -f(x)), мы знаем, что f"(-x) = -f"(x). Таким образом, у нас получается -f"(x) = f"(x), что означает, что производная f(x) является нечетной функцией.

Аналогично, если производная функции f"(x) является нечетной, то сама функция f(x) будет четной.

Пример:

Допустим, у нас есть функция f(x) = x^3. Тогда производная функции, f"(x), равна 3x^2.
Поскольку f"(x) = 3x^2 является четной функцией, согласно доказательству, функция f(x) = x^3 должна быть нечетной.

Совет:

Для лучшего понимания темы, рекомендуется обратить внимание на симметрию графиков четных и нечетных функций относительно оси ординат и начала координат. Анализируйте различия между производными четных и нечетных функций для лучшего понимания их свойств.

Задание:

1) Для функции f(x) = x^4 докажите, что производная f"(x) является четной функцией.
2) Для функции g(x) = x^5 докажите, что производная g"(x) является нечетной функцией.

Задача 9

Инструкция:

Для того чтобы дополнить график функции на рисунке 4 таким образом, чтобы он был всюду определенным и непрерывным на R и четным или нечетным относительно оси ординат, необходимо симметрично продолжить график функции в отношении оси ординат.

1) Чтобы дополнить график функции до четной функции относительно оси ординат, нужно построить его симметрично относительно этой оси. То есть, если мы знаем график функции на положительной оси ординат, мы строим точки на отрицательной оси, которые симметричны относительно начала координат.

2) Чтобы дополнить график функции до нечетной функции относительно оси ординат, нужно также построить его симметрично относительно этой оси. Однако, на этот раз мы должны перевернуть знаки точек на отрицательной оси относительно начала координат.

Пример:

Представим, что на рисунке 4 у нас есть график функции y = f(x), который определен и непрерывен на R. Если мы хотим дополнить график до четной функции относительно оси ординат, мы построим симметричные точки относительно оси ординат и соединим их с существующим графиком.

Совет:

При дополнении графика функции до четной или нечетной функции относительно оси ординат, важно обращать внимание на симметрию и правильное построение точек с учетом этой симметрии.

Задание:

1) Дополните график функции на рисунке 4 таким образом, чтобы он был всюду определенным и непрерывным на R, и четным относительно оси ординат.
2) Дополните график функции на рисунке 4 таким образом, чтобы он был всюду определенным и непрерывным на R, и нечетным относительно оси ординат.