5sin^2x+8cosx+1=[cosx]+cos^2x после модуля косинуса. Заранее

Тема вопроса: Решение уравнения с использованием косинуса

Объяснение:
Дано уравнение: 5sin^2x + 8cosx + 1 = [cosx] + cos^2x, где [cosx] - модуль косинуса.

Для начала, давайте заменим символ модуля на возможные значения, так как модуль может быть положительным или отрицательным в зависимости от значения косинуса. Тем самым, мы получим два возможных уравнения:

1) 5sin^2x + 8cosx + 1 = cosx + cos^2x (для положительного значения косинуса)
2) 5sin^2x + 8cosx + 1 = -cosx + cos^2x (для отрицательного значения косинуса)

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) 5sin^2x + 8cosx + 1 = cosx + cos^2x

Сгруппируем все слагаемые, содержащие косинус:

cos^2x + 7cosx - 5sin^2x = 0

Воспользуемся идентичностью sin^2x + cos^2x = 1, чтобы заменить sin^2x на 1 - cos^2x:

cos^2x + 7cosx - 5(1 - cos^2x) = 0

Упростим это уравнение:

6cos^2x + 7cosx - 5 = 0

Решим это квадратное уравнение:

cosx = (-7 ± √(7^2 - 4 * 6 * (-5))) / (2 * 6)

cosx = (-7 ± √(49 + 120)) / 12

cosx = (-7 ± √169) / 12

cosx = (-7 ± 13) / 12

Теперь, найдя значения cosx, мы можем найти соответствующие значения sinx, которые связаны с косинусом по формуле sin^2x + cos^2x = 1.

Например, если cosx = (-7 + 13) / 12:

cosx = 6 / 12 = 1/2

Тогда sin^2x = 1 - cos^2x = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4

sinx = ±√(3/4)

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные функции косинуса и синуса:

x = arccos(1/2) или x = arcsin(√(3/4))

Повторите те же шаги для второго уравнения, где модуль косинуса равен отрицательному значению.

Совет:
Для лучшего понимания и решения таких уравнений, рекомендуется ознакомиться с тригонометрическими функциями, уметь использовать тригонометрические тождества, а также знать основные свойства модуля.

Практика:
Решите уравнение 3cos^2x + 4sinx - 1 = [sinx] + cosx^2, где [sinx] - модуль синуса.