42.1. С использованием определения, найдите производную функции в заданной точке. Предоставьте геометрическую

Тема: Производная функции и ее геометрическая и физическая интерпретации

Пояснение:
Производная функции в заданной точке позволяет нам определить скорость изменения функции в этой точке. Для нахождения производной функции в заданной точке, мы можем использовать определение производной или правила дифференцирования.

Дано:
y = 2 + (3x + 1) / (5x + 1)

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования для суммы, разности и частного.

1. Найдем производную числителя (3x + 1):
dy/dx = 0 + 3/(5x + 1) = 3/(5x + 1)

2. Найдем производную знаменателя (5x + 1):
dy/dx = 2(5) = 10

3. Используя правило дифференцирования частного, найдем производную функции:
dy/dx = (10(3x + 1) - 3(5x + 1))/(5x + 1)^2 = (30x + 10 - 15x - 3)/(5x + 1)^2 = (15x + 7)/(5x + 1)^2

Теперь мы получили производную функции y = 2 + (3x + 1) / (5x + 1) в общем виде. Чтобы найти производную в заданной точке, подставьте значение x и вычислите.

Геометрическая интерпретация:
Геометрически, производная функции в заданной точке показывает наклон касательной к графику функции в этой точке. Значение производной положительное, если график функции в данной точке наклонен вверх, и отрицательное, если график функции в данной точке наклонен вниз.

Физическая интерпретация:
Физически, производная функции в заданной точке может интерпретироваться как скорость изменения некоторой физической величины, зависящей от переменной x, в этой точке. Например, если функция описывает перемещение тела, производная в заданной точке будет показывать скорость тела в этой точке.

Например:
Пусть y = 2 + (3x + 1)/(5x + 1). Найдите производную функции в точке x = 2.

Совет:
Для лучшего понимания производной функции, рекомендуется изучить теорию дифференцирования и базовые правила дифференцирования. Практикуйтесь в решении различных задач, чтобы закрепить полученные знания и навыки.

Дополнительное упражнение:
Найдите производную функции y = 3x^2 + 2x - 7 в заданной точке x = 1.