30! Control, 8th grade. 1. Express the expressions as fractions: a) 28p⁴/q * q⁵/56p⁴ ; b) 72х³у/z : (30х²у

Содержание: Факториал и рационализация выражений.

Описание: Факториал обозначается символом "!". Например, 5! читается как "5 факториал" и равняется произведению всех натуральных чисел от 1 до 5, то есть 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Факториал очень больших чисел, таких как 30!, может быть сложно вычислить вручную, поэтому часто используются калькуляторы или специальные программы.

Пояснение ответа:
a) Чтобы упростить выражение, нужно сократить одинаковые степени и числители:
28p⁴/q * q⁵/56p⁴ = (28/56) * (p⁴/p⁴) * (q⁵/q) = 1/2 * 1 * q⁴/q = q⁴/2q = q³/2

b) При делении чисел с одинаковыми основаниями степени вычитаются:
72х³у/z : (30х²у) = 72х³у/z * 1/(30х²у) = 72х³у/(30х²уz) = 6х/5z

c) Делаем общий знаменатель, умножив оба дроби на (х² - 9) * (х - 1):
(х²-1)/(х²-9) : (5х+10)/(х-1) = (х²-1)/(х²-9) * (х-1)/(5х+10) = (х-1)(х+1)/((х-3)(х+3)) * (х-1)/(5(х+2)) = (х-1)²/(5(х-3)(х+2))

d) Упрощаем выражение:
у+с/с * (с/у + с/у+с) = (у+с)/у * (2с/у+с) = 2с(у+с)/(у(у+с))

Совет: Внимательно читайте условие задачи и обратите внимание на правила сокращений и вычислений с дробями. Если возникнут сомнения, можно использовать калькулятор для проверки ответа.

Практика: Выполните следующие вычисления:
a) 15!
b) (2a³b²)⁴ / (4a²b³)²
c) (x+2)(x-2) / (x²-4)
d) (3x-2) / (x-2) + (4x+1) / (x+1)

1. Переведите выражения в виде дробей:
a) Для начала упростим числитель и знаменатель:
28p⁴/q * q⁵/56p⁴ = (28 * p⁴ * q⁵) / (q * 56 * p⁴) = (7 * 4 * p⁴ * q⁵) / (7 * 8 * p⁴) = (4 * q⁵) / 8 = (q⁵) / 2

b) Поделим числитель на знаменатель:
72х³у/z : (30х²у) = (72х³у) / (30х²у) = (6 * 12 * х³ * у) / (3 * 10 * x² * у) = 2 * х / x² = 2 / x

c) Умножим числитель и знаменатель на (х - 1) и (5х + 10):
х²-1/х²-9 : 5х+10/х-1 = (х²-1)(х-1) / (х²-9)(5х+10) = (х + 1)(х - 1) / ((х+3)(х-3))(5(х+2)) = (х + 1)(х - 1) / (х+3)(х-3)(х+2)

d) Раскроем скобки и упростим выражение:
у+с/с * (с/у + с/у+с) = (у+с) / с * ((с+с) / у) = (у+с) * (2c) / (c * у) = 2(у+с) / у

2. Нарисуйте график функции у = -6/х. Домен функции - это множество значений х, при которых функция определена. Поскольку в знаменателе есть х, функция определена при любом ненулевом значении х, за исключением значения х = 0. Таким образом, домен функции - все действительные числа, кроме х = 0. Функция у = -6/х принимает отрицательные значения при х > 0 и х < 0, так как знак минус перед дробью делает значение отрицательным.

3. Докажите, что для любых значений х ≠ ±2 выражение х/х+2 - (х-2)² (1/х²-4 + 1/х²-4х+4) не зависит от х.
Для начала, посмотрим на первое слагаемое - (х-2)². Возведение в квадрат не меняет знак числа, поэтому (х-2)² всегда положительно, независимо от х.

Теперь рассмотрим второе слагаемое - (1/х²-4 + 1/х²-4х+4). Заметим, что знаменатели обоих дробей равны, и когда мы их складываем, получаем общий знаменатель х² - 4х + 4. После суммирования получаем 2/(х² - 4х + 4).

Теперь объединим оба слагаемых: х/х+2 - (х-2)² (1/х²-4 + 1/х²-4х+4).

После раскрытия скобок и сокращения подобных членов получаем:
х/(х+2) - (х² - 4х + 4) (2/(х² - 4х + 4))

Заметим, что х² - 4х + 4 и х² - 4х + 4 сокращаются, и мы получаем:
х/(х+2) - 2 = х/(х+2) - 2(х+2)/(х+2) = (х - 2(х+2))/(х+2) = (х - 2х - 4)/(х+2) = (-х - 4)/(х+2)

Теперь мы видим, что получившееся выражение, -х - 4, не зависит от значения х. Таким образом, для всех значений х ≠ ±2 данное выражение не зависит от х.