3. Перейдем к следующим вычислениям: а) 15a + 1/6a^3 - 4 - 15a/9a^2 б) 1/x + 3 + 2x/x^2-9 в) 2/x^2-4 - 1/x^2+2x г

Тема: Сложение и вычитание рациональных выражений

Объяснение: Для решения данных вычислений необходимо применить правила сложения и вычитания рациональных выражений.

а) Пример: Рассмотрим первое вычисление: 15a + 1/6a^3 - 4 - 15a/9a^2.

Для начала, сложим и вычтем все подобные члены. Подобные члены - это те, у которых одинаковые переменные и степени:

15a - 15a = 0;
1/6a^3;
- 4;
- 15a/9a^2 = - 5/3a;

Теперь объединим все члены:

1/6a^3 - 5/3a - 4.

б) Пример: Рассмотрим второе вычисление: 1/x + 3 + 2x/x^2-9.

Для начала, проверим, можно ли сократить на какие-либо простые множители:

x^2 - 9 = (x-3)(x+3).

Теперь найдем общий знаменатель и приведем все слагаемые к нему:

1/x = (x+3)/(x^2-9);
3 = (3(x^2-9))/(x^2-9);
2x/x^2-9 = 2x/(x-3)(x+3);

Теперь сложим все полученные дроби:

(x+3)/(x^2-9) + (3(x^2-9))/(x^2-9) + (2x/(x-3)(x+3)).

в) Пример: Рассмотрим третье вычисление: 2/x^2-4 - 1/x^2+2x.

Аналогично, найдем общий знаменатель и приведем все слагаемые к нему:

2/x^2-4 = 2/(x-2)(x+2);
1/x^2+2x = 1/(x(x+2));

Теперь сложим все полученные дроби:

2/(x-2)(x+2) - 1/(x(x+2)).

г) Пример: Рассмотрим четвертое вычисление: 4m + 8m^2/5-2m.

Здесь нет дробей, поэтому сложим все члены:

4m + 8m^2/5 - 2m.

Совет: При решении подобных задач полезно использовать общие правила сложения и вычитания рациональных выражений, а также коммутативность и ассоциативность сложения и вычитания.

Упражнение: Решите уравнение следующего вида: (2/x) + (3/y) = (5/z), где x, y, z - неизвестные переменные.