3. Какое неравенство можно сформулировать для выражений k^2+l^2 и k^(-1) l^(-1), если известно, что 0 < k < 4/3 и 0

Задача 3. Мы имеем два выражения: k^2 + l^2 и k^(-1) * l^(-1). Нам известно, что 0 < k < 4/3 и 0 < l < 2/3. Чтобы сформулировать неравенство для этих выражений, мы можем использовать правила неравенств и алгебры.

Начнем с первого выражения: k^2 + l^2. Учитывая ограничения на k и l, мы знаем, что оба квадраты положительны. Это означает, что k^2 > 0 и l^2 > 0. Следовательно, сумма этих двух положительных чисел также будет положительной. Мы можем записать это неравенство следующим образом: k^2 + l^2 > 0.

Теперь рассмотрим второе выражение: k^(-1) * l^(-1). Выражение k^(-1) означает, что k является обратным значением к k. Аналогично, l^(-1) означает, что l является обратным значением к l. Но обратное число положительного числа будет положительным, поэтому k^(-1) * l^(-1) > 0.

Таким образом, мы можем сформулировать неравенство для данных выражений: k^2 + l^2 > 0 и k^(-1) * l^(-1) > 0.

Задача 4. Для доказательства неравенства (m+n)^2/2 ≤ m^2 + n^2 применим алгебраические преобразования.

Начнем с левой части неравенства: (m+n)^2/2. Мы раскроем квадрат и поделим на 2, получим (m^2 + 2mn + n^2)/2.

На правой части неравенства у нас имеется m^2 + n^2.

Теперь сравним две части неравенства:

(m^2 + 2mn + n^2)/2 ≤ m^2 + n^2

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

m^2 + 2mn + n^2 ≤ 2(m^2 + n^2)

Раскроем скобки:

m^2 + 2mn + n^2 ≤ 2m^2 + 2n^2

Вычтем m^2 и n^2 из обеих частей неравенства:

2mn ≤ m^2 + n^2

Это неравенство истинно для любых значений m и n, так как правая часть неравенства всегда будет больше или равна левой части. Таким образом, мы доказали неравенство (m+n)^2/2 ≤ m^2 + n^2.

Задача 5. Если a > 0 и b < 0, то ab < 0. Это может быть легко показано с использованием правил умножения и знака чисел.

Если a > 0 и b < 0, то у нас есть положительное число, умноженное на отрицательное число. Правило умножения гласит, что умножение положительного и отрицательного числа дает отрицательный результат. Следовательно, ab < 0.

Задача 6. Давайте докажем данное неравенство для любых значений a. Начнем с левой части неравенства a^3 и правой части (a-1)(a^2+a+1).

Раскроем скобки в правой части:

(a-1)(a^2+a+1) = a^3 + a^2 + a - a^2 - a - 1 = a^3 - 1

Теперь у нас есть неравенство a^3 > a^3 - 1. Вычтем a^3 из обеих частей:

0 > -1

Это неравенство всегда истинно, поскольку любое число больше отрицательного числа. Следовательно, мы можем подтвердить, что для любых значений a выполняется неравенство a^3 > (a-1)(a^2+a+1).