1. Выполните следующие операции: 1) Упростите выражение а²b/12c×16c/ab². 2) Разделите 28a/c³ на (4a²c). 3) Умножьте

Тема: Алгебраические выражения

Объяснение: Чтобы выполнить данные операции, использовать знания по упрощению и умножению/делению алгебраических выражений является важным. Для упрощения алгебраических выражений мы объединяем подобные термы и применяем правила умножения/деления. Пошаговое решение каждого задания приведено ниже.

1) Упрощение выражения а²b/12c×16c/ab²:
- Упрощение: (а*а*b)/(12*с) * (16*с)/(а*b*а)
- Упрощение: (а*а*(b/а))/(с) * (16*с)/(а*b*а)
- Упрощение: (а*(b/а))/(1/2) * (2*8)/(b*а)
- Упрощение: b/а * 16/1
- Упрощение: 16b/а

2) Деление: 28a/c³ ÷ (4a²c):
- Упрощение: (28a)/(4a²c*c³)
- Упрощение: (28÷4)a/(a²*c*c³)
- Упрощение: 7/a * 1/(ac²)
- Упрощение: 7/(a^2*c³)

Умножение: (6a-6b/c²) * (4c^6/a²-b²):
- Упрощение: (6a-6b/c²) * (4c^6/a²-b²)
- Раскрытие скобок: (6a*4c^6-6b*4c^6/c²)/(a²-b²)
- Упрощение: (24a*c^6-24b*c^6/c²)/(a²-b²)
- Упрощение: 24ac^6/c² * (1-1/(b²-a²))
- Упрощение: 24ac^6/(c²*(b²-a²))

Деление: (5x-10/2x+3) ÷ (x²-4/4x+6):
- Упрощение: (5x-10)/(2x+3) ÷ (x²-4)/(4x+6)
- Упрощение: (5x-10)/(2x+3) * (4x+6)/(x²-4)
- Упрощение: (5*(x-2))/1 * (2*(2x+3))/((x+2)*(x-2))
- Упрощение: 10*(2x+3)/(x+2)
- Упрощение: (20x+30)/(x+2)

2) Упрощение следующего выражения:
Вычитание: (b+6)/(2b-6) - (5b)/(b-3)
- Находим общий знаменатель: ((b+6)(b-3))/((2b-6)(b-3)) - (5b(2b-6))/((b-3)(2b-6))
- Упрощение: ((b+6)(b-3) - 5b(2b-6))/((2b-6)(b-3))
- Упрощение: ((b^2+6b-3b-18) - (10b^2-30b))/(2b^2-6b-6b+18)
- Упрощение: (b^2+3b-18 - 10b^2+30b)/(2b^2-12b+18)
- Упрощение: (-9b^2+33b-18)/(2b^2-12b+18)

Умножение: (-9b^2+33b-18)*(90/(b²+6b))
- Раскрытие скобок: -9b^2*(90/(b²+6b)) + 33b*(90/(b²+6b)) - 18*(90/(b²+6b))
- Упрощение: -810b^2/(b²+6b) + 2970b/(b²+6b) - 1620/(b²+6b)
- Объединение: (-810b^2 + 2970b - 1620)/(b²+6b)

Деление: ((a-8)/(a+8) - (a+8)/(a-8))/((16a)/(64-a²))
- Упрощение: ((a-8)(a-8) - (a+8)(a+8))/(16a/(64-a²))
- Упрощение: (a^2 - 16)/(16a/(64-a²))
- Упрощение: (a^2 - 16)*((64-a²)/(16a))
- Упрощение: ((a-4)(a+4)*((8-a)(8+a))/(4a)
- Упрощение: -((a-4)(a+4)(a+8))/(4a)

3) Доказательство тождественной формулы:
((m/m²-16m+64 -m+4/m²-64) / (3m+8/m²-64)) = (4/m-8)
- Раскрытие скобок: ((m*m² - 16m² + 64m - m² + 4) / (m² - 64*1)) / ((3m² - 8)/(m² - 64*1)) = 4/(m-8)
- Упрощение: ((m³ - 15m² + 64m + 4) / (m² - 64)) / ((3m² - 8)/(m² - 64)) = 4/(m-8)
- Упрощение: (m³ - 15m² + 64m + 4) / (3m² - 8) = 4/(m-8)
- Упрощение: (m³ - 15m² + 64m + 4) = (4*(3m² - 8))/(m-8)
- Упрощение: m³ - 15m² + 64m + 4 = (12m² - 32)/(m-8)
- Упрощение: m³ - 27m² + 64m - 36 = 0

4) Нахождение значения выражения (x²+9)/(x²) = 55:
- Раскрытие скобок: (x² + 9) / x² = 55
- Упрощение: (x² + 9) = 55x²
- Упрощение: 9 = 54x²
- Решение уравнения: x² = 1/6
- Возведение в корень: x = ±√(1/6)
- Упрощение: x = ±√(1/6) = ±√(1)/√(6) = ±1/√(6) = ±√(6)/6

Вычисление значения выражения (x-3)/x:
- Подстановка значения x = ±√(6)/6:
- (x-3)/x = ((√(6)/6) - 3)/(√(6)/6) = (√(6) - 18)/(6√(6))
- (x-3)/x = (-√(6) - 18)/(6√(6))

Совет: Для успешного выполнения операций с алгебраическими выражениями, важно хорошо знать правила упрощения, раскрытия скобок и правила умножения/деления. Постоянно тренируйтесь на подобных задачах и учебных примерах, чтобы получить практическую навыков.

Упражнение: Упростите и разделите следующие выражения:
1. (2x-4)/(3x+6) ÷ (x-2)/(x+4)
2. (3a-5)/(6a+9) ÷ (2a-3)/(4a+6)