Задачи на сочетания
1. Скільки п ятицифрових чисел можна утворити з цифр 1,2,3,4,5, які не мають однакових цифр на початку і не починаються
1. Скільки п"ятицифрових чисел можна утворити з цифр 1,2,3,4,5, які не мають однакових цифр на початку і не починаються з числа 45?
2. Яка кількість книжок може бути обмінена між двома учнями, якщо один учень має 6 різних книжок, а другий - 7, і кожен з них обмінює по 3 книжки?
2. Яка кількість книжок може бути обмінена між двома учнями, якщо один учень має 6 різних книжок, а другий - 7, і кожен з них обмінює по 3 книжки?
07.10.2024 14:33
Написать свой ответ:
Пояснение:
1. Для этой задачи мы можем использовать числа на перестановки и комбинации. Сначала нам нужно определить, сколько пятизначных чисел можно образовать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Всего у нас есть 5 цифр, и мы выбираем 5 из них без повторений. Это можно выразить формулой сочетаний C(n, r), где n - количество элементов, r - количество элементов, которое мы выбираем. В данном случае, n = 5 и r = 5. Формула сочетаний выглядит так: C(5, 5) = 5! / (5!(5-5)!) = 1.
Теперь нам нужно учесть условия: числа не должны иметь одинаковые цифры в начале и не должны начинаться с числа 45.
Чтобы избежать повторений цифр в начале, мы должны избавиться от всех перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5, где первая цифра одинаковая. Мы можем сгруппировать цифры 1, 2, 3, 4, 5 вместе и рассмотреть их как один элемент (обозначим его X). Тогда у нас будет 2 элемента - X и 45. Мы можем разместить эти 2 элемента в начале числа или в конце числа. Таким образом, у нас есть 2 * P(2,2) способов размещения 2 элементов в начале числа и в конце числа.
Таким образом, общее количество пятизначных чисел, удовлетворяющих условиям, будет равно: 1 - (2 * P(2,2)) = 1 - (2 * 2!) = 1 - (2 * 2) = 0.
2. Для этой задачи мы можем использовать принцип умножения. У первого ученика есть 6 разных книг, и у него есть 3 выбора, чтобы отдать первую книгу, 5 выборов для второй книги, и 4 выбора для третьей книги. У второго ученика есть 7 книг, и у него также будет 3 выбора для каждой книги.
Таким образом, общее количество возможных комбинаций обмена книгами будет равно: 6 * 5 * 4 * 7 * 3 * 3 * 3 = 22680.
Доп. материал:
1. Для первой задачи: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если числа не могут начинаться с 45 и не могут иметь одинаковые цифры в начале?
2. Для второй задачи: Если один ученик имеет 6 книг, а другой - 7, и каждый из них хочет обменяться 3 книгами, сколько всего комбинаций обмена книгами возможно?
Совет: Для задач на комбинаторику, полезно использовать принципы сочетаний и перестановок, а также применять принципы умножения или сложения в зависимости от ситуации.
Практика:
1. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если числа не имеют повторяющихся цифр?
2. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если числа должны быть четными и не должны иметь повторяющихся цифр?