1) Rewritten question: How can the equation 4cos^3(x) + 4sin^2(x) = 1 + 3cos(x) be modified? 2) Rewritten question

Тема занятия: Модификация уравнений

Описание:
1) Уравнение 4cos^3(x) + 4sin^2(x) = 1 + 3cos(x) можно модифицировать, чтобы упростить его решение. Для этого приведем его к стандартному виду уравнения (a*cos(x) + b*sin(x) = c).
В данном случае, используя тригонометрическую тождественную формулу cos^2(x) + sin^2(x) = 1, мы можем заменить sin^2(x) в уравнении на (1 - cos^2(x)), что даст нам:
4cos^3(x) + 4(1 - cos^2(x)) = 1 + 3cos(x)
4cos^3(x) + 4 - 4cos^2(x) = 1 + 3cos(x)
4cos^3(x) - 4cos^2(x) - 3cos(x) - 3 = 0
Таким образом, уравнение было успешно модифицировано путем замены sin^2(x) на (1 - cos^2(x)).

2) Уравнение sin(x) + cos(3x) = 0 можно решить, применив различные алгебраические и тригонометрические преобразования. Для начала приведем уравнение к более удобному виду:
sin(x) + cos(3x) = 0
Мы можем заменить cos(3x) на 4cos^3(x) - 3cos(x) по формуле двойного угла:
sin(x) + 4cos^3(x) - 3cos(x) = 0
После замены получаем уравнение: 4cos^3(x) - 3cos(x) + sin(x) = 0.
Теперь можно применить дополнительные алгебраические или численные методы для нахождения решений данного уравнения.

3) Уравнение 1/cos^2(x) = 3 + tg(x) можно переформулировать для упрощения его решения. Начнем с замены tg(x) на sin(x)/cos(x) по определению тангенса:
1/cos^2(x) = 3 + sin(x)/cos(x)
Затем приведем обе части уравнения к общему знаменателю, умножив левую часть на cos^2(x):
1 = 3cos^2(x) + sin(x)
Теперь можно применить необходимые тригонометрические или алгебраические методы для решения данного уравнения.

Пример:
1) Как можно модифицировать уравнение 4cos^3(x) + 4sin^2(x) = 1 + 3cos(x)?
2) Как найти решение уравнения sin(x) + cos(3x) = 0?
3) Как переформулировать уравнение 1/cos^2(x) = 3 + tg(x)?

Совет:
Для более лучшего понимания и решения уравнений можно использовать знания о тригонометрических тождествах, формулах двойного угла, определениях функций. Работают также методы приведения подобных и преобразования уравнений к более удобному виду.

Задание:
Найти все решения уравнения 4cos^3(x) + 4sin^2(x) = 1 + 3cos(x).